Indietro

ⓘ Onda d'urto (fluidodinamica)




Onda durto (fluidodinamica)
                                     

ⓘ Onda durto (fluidodinamica)

In fluidodinamica ed aerodinamica con il termine onda durto si indica un sottile strato di forte variazione dei campi di pressione, temperatura, densità e velocità del fluido. Tale sottile spessore, dellordine di 10 nm, viene modellato matematicamente come una discontinuità.

                                     

1. Tipologie

Unonda durto può essere normale oppure obliqua alla direzione della velocità relativa tra onda e corrente, e può altresì essere stazionaria oppure spostarsi rispetto ad un corpo che la genera. Le onde sonore, essendo identificabili come piccoli disturbi di pressione e di velocità, in quanto queste ultime grandezze sono legate nelle equazioni che governano il fenomeno, rappresentano delle onde durto che, per la loro bassa intensità, possono essere considerate isoentropiche, cioè onde che non modificano sensibilmente lentropia del flusso che le attraversa o che attraversano sono anche dette onde di Mach. Il meccanismo delle onde durto oblique è in grado di deviare un flusso supersonico.

Di particolare interesse sono anche le onde durto adiabatiche, cioè quelle che si possono verificare in una corrente di fluido animata da moto omoenergetico.

                                     

2. Onda durto normale

Si consideri la figura a destra. Si immagini un serbatoio a monte del condotto di figura che per qualche motivo si svuoti generando un flusso di fluido che considereremo gas perfetto allinterno del condotto. Dette 1 e 2 le due sezioni di controllo, detta T 0 la temperatura totale nel serbatoio, e p 0 la pressione totale, detto τ il volume di controllo, e siano le variazioni di sezione fra 1 e 2 trascurabili, individuando con n → 1 {\displaystyle {\vec {n}}_{1}} la normale alla sezione 1 e con n → 2 {\displaystyle {\vec {n}}_{2}} alla sezione 2, si immagini che, a causa delle condizioni di pressione a valle del condotto, o delle condizioni di raccordo del condotto stesso, il fluido sia costretto a cambiare repentinamente le sue proprietà di pressione, velocità e temperatura allinterno di un piccolo volume indicato appunto con τ.

Chiameremo questa zona di discontinuità onda durto normale.

Supponendo il flusso stazionario, e cioè nulle le derivate delle quantità rispetto al tempo, facciamo il bilancio della massa e della quantità di moto. Ipotizzando un flusso allingresso del volume di controllo supersonico unidimensionale, indicheremo con ρ la densità del fluido, con u la velocità e con la sezione.

Bilancio di massa:

ρ 1 u 1 A 1 = ρ 2 u 2 A 2 {\displaystyle \rho _{1}u_{1}A_{1}=\rho _{2}u_{2}A_{2}}.

Coincidendo A 1 {\displaystyle A_{1}} con A 2 {\displaystyle A_{2}} il bilancio diviene

ρ 1 u 1 = ρ 2 u 2 = G {\displaystyle \rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=G}

dove G è una costante invariante a monte e a valle del volume di controllo.

Bilancio della quantità di moto:

A 2 p 2 + ρ 2 u 2 n → 2 − A 1 p 1 + ρ 1 u 1 2 n → 1 = R → + M g → {\displaystyle A_{2}p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}{\vec {n}}_{2}-A_{1}p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}{\vec {n}}_{1}={\vec {R}}+M{\vec {g}}}

Abbiamo indicato con R → {\displaystyle {\vec {R}}} la risultante delle azioni del condotto sul fluido, con M la massa di fluido, e con g → {\displaystyle {\vec {g}}} laccelerazione di gravità.

Trascuriamo ora il peso del fluido e lazione del condotto sul fluido stesso, agendo essa sullarea laterale del volume, di ordine inferiore rispetto alle aree frontali. Dunque poiché A 1 = A 2 {\displaystyle A_{1}=A_{2}} e n → 1 = n → 2 {\displaystyle {\vec {n}}_{1}={\vec {n}}_{2}} allora il bilancio della quantità di moto diviene semplicemente p 2 + ρ 2 u 2 = p 1 + ρ 1 u 1 2 = I {\displaystyle p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}=p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=I} invariante a monte e a valle del volume di controllo.

Facciamo ora il bilancio dellenergia:

ρ 2 A 2 u 2 h 02 − ρ 1 A 1 u 1 h 01 = M q {\displaystyle \rho _{2}A_{2}u_{2}h_{02}-\rho _{1}A_{1}u_{1}h_{01}=M{\dot {q}}} dove h 0 {\displaystyle h_{0}} è lentalpia totale e q {\displaystyle {\dot {q}}} la derivata temporale del calore introdotto. Essendo q = 0 {\displaystyle {\dot {q}}=0} condotto adiabatico semplicemente h 02 = h 01 = h 0 {\displaystyle h_{02}=h_{01}=h_{0}}.

Abbiamo dunque tre invarianti: G, I, e h 0 {\displaystyle h_{0}}. Ricordiamo la definizione di velocità del suono critica a c {\displaystyle a_{c}}:

γ − 1 / 2) u 2 = a 0 2 = γ + 1 / 2) a c 2. {\displaystyle \gamma -1/2)u^{2}=a_{0}^{2}=\gamma +1/2)a_{c}^{2}.}

Si è indicata con a 0 {\displaystyle a_{0}} la velocità del suono ad entalpia totale e γ = c p c v {\displaystyle \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}}.

Inoltre a 2 = γ r T = γ u G I − G u {\displaystyle a^{2}=\gamma rT=\gamma {\frac {u}{G}}I-Gu} e dunque giungiamo allequazione che regola le onde durto normali:

u 2 − 2 γ + 1 I G u + a c 2 = 0. {\displaystyle u^{2}-{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}{\frac {I}{G}}u+a_{c}^{2}=0.}

Chiamiamo u 1 {\displaystyle u_{1}} e u 2 {\displaystyle u_{2}} le due soluzioni dellequazione reali e distinte oppure reali e coincidenti, poiché per la nota proprietà delle equazioni di secondo grado u 1 u 2 = a c 2 {\displaystyle u_{1}u_{2}=a_{c}^{2}}, allora in un urto normale è M 1 c M 2 c = 1 {\displaystyle M_{1}cM_{2}c=1}, dove con M c {\displaystyle M_{c}} abbiamo indicato il numero di Mach critico, definito come M c = u a c {\displaystyle M_{c}={\frac {u}{a_{c}}}}. Da questa relazione notiamo subito che un flusso attraverso unonda durto normale passa da supersonico a subsonico o viceversa ma questultima alternativa è impossibile perché viola il 2º principio della termodinamica.

                                     

2.1. Onda durto normale Urto normale

La relazione che lega i numeri di Mach "veri" è la seguente:

M 2 = 1 + γ − 1 2 M 1 2 γ M 1 2 − γ − 1 2. {\displaystyle M_{2}^{2}={\dfrac {1+{\dfrac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-{\dfrac {\gamma -1}{2}}}}.}

Osservando tale relazione si nota che per M 1 → 1 {\displaystyle M_{1}\to \ 1} allora anche M 2 → 1 {\displaystyle M_{2}\to \ 1} in questo caso avremo una zona di debole discontinuità, fenomeno quasi isoentropico chiamato "onda di Mach". Se invece M 1 → ∞ {\displaystyle M_{1}\to \ \infty } allora M 2 → γ − 1 2 γ 1 2 {\displaystyle M_{2}\to \ \left{\dfrac {\gamma -1}{2\gamma }}\right^{\frac {1}{2}}}.

Per quanto riguarda le velocità:

u 1 u 2 = γ + 1 2 M 1 2 1 + γ − 1 2 M 1 2 {\displaystyle {\dfrac {u_{1}}{u_{2}}}={\dfrac {\gamma +1}{2}}{\dfrac {M_{1}^{2}}{1+{\dfrac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}}}

La velocità dunque attraverso un urto normale diminuisce.

Per le pressioni:

p 2 − p 1 p 1 = 2 γ + 1 M 1 2 − 1. {\displaystyle {\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}={\frac {2\gamma }{\gamma +1}}M_{1}^{2}-1.}

La pressione aumenta, dunque, attraverso londa.

Dalle leggi di Poisson si ricava poi:

p 01 p 02 = ^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}

Se M 1 > 1 {\displaystyle M_{1}> 1} allora anche p 01 > p 02 {\displaystyle p_{01}> p_{02}} e viceversa se M 1 < 1 {\displaystyle M_{1} 1}"> M 1 n > 1 {\displaystyle M_{1n}> 1} implica che M 1 s e n β > 1 ⇒ s e n β ≥ 1 M 1 = s e n μ 1 ⇒ β ≥ μ 1 {\displaystyle M_{1}\mathrm {sen} \beta> 1\Rightarrow \ \mathrm {sen} \beta\geq \ {\frac {1}{M_{1}}}=\mathrm {sen} \mu _{1}\Rightarrow \ \beta \geq \ \mu _{1}} dove μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} è langolo del cono di Mach a monte dellonda.

Il salto di densità è dato da:

ρ 2 ρ 1 = γ + 1 2 M 1 2 s e n 2 β 1 + γ − 1 2 M 1 2 s e n 2 β {\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac indicato in figura.