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ⓘ Energia di Fermi




Energia di Fermi
                                     

ⓘ Energia di Fermi

In fisica, in particolare in meccanica quantistica, l energia di Fermi è lenergia del più alto livello occupato in un sistema di fermioni alla temperatura dello zero assoluto. Il suo nome deriva dal fisico italiano Enrico Fermi.

Il termine "energia di Fermi" viene anche usato facendo riferimento al concetto di livello di Fermi, diffuso nella fisica dei semiconduttori. Lenergia di Fermi e il potenziale elettrochimico coincidono allo zero assoluto, ma differiscono a temperature maggiori.

                                     

1.1. Introduzione Contesto

In meccanica quantistica, una classe di particelle indicate con il nome di fermioni obbedisce al principio di esclusione di Pauli. Questo principio afferma che due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico. Ogni stato di un sistema è caratterizzato dai valori dellinsieme dei numeri quantici caratteristici del sistema. In un sistema che contiene molti fermioni come gli elettroni in un metallo, ciascun fermione ha un diverso insieme di valori dei numeri quantici.

Per calcolare lenergia minima di un sistema di fermioni, è quindi possibile raggruppare in insiemi gli stati che hanno la medesima energia, e ordinare poi questi insiemi in ordine di energia crescente. Partendo dal sistema vuoto senza nessun fermione, possiamo dunque aggiungere via un fermione dopo laltro, occupando quindi in ordine tutti i livelli di energia più bassa salendo ogni volta. Quando tutte le particelle sono state così inserite, lenergia di Fermi coincide con lenergia dello stato quantico più alto occupato.

Ciò ha come conseguenza che, anche se portiamo un metallo allo zero assoluto, gli elettroni allinterno del metallo sono ancora in movimento: il più veloce di essi, infatti, si muoverà con una velocità tale che la sua energia cinetica corrisponda allenergia di Fermi. Tale velocità è chiamata velocità di Fermi.

I livelli di energia dei fermioni sono spesso quantizzati per via della forma dellenergia potenziale a cui sono sottoposti, per esempio un elettrone di valenza in un metallo vede grandi variazioni dellenergia potenziale che è negativa in prossimità dei nuclei e del proprio atomo e positiva in vicinanza di altri elettroni appartenenti ad atomi differenti. Lenergia degli stati varia con continuità se è superiore al valore massimo dellenergia potenziale vista dal fermione considerato ed è quantizzata sotto tale valore e quindi assume valori discreti via maggiori negativi se il fermione è legato positivi se è libero e sempre più addensati. Lenergia di Fermi è lultima di tali livelli discreti appartenente al fermione libero nello stato occupato per ultimo. La presenza di altri fermioni della stessa specie vicini a quello considerato porta a un significativo aumento dei livelli denergia quantizzata possibili tanto che se prima erano pochi, abbastanza ben definiti e ben separati diventano molti e vicini tra loro sebbene mantengano dei raggruppamenti divisi che per questo comunemente si rappresentano per semplicità come bande continue come in figura.

Lenergia di Fermi è uno dei concetti fondamentali della fisica della materia condensata: viene usato, per esempio, per descrivere metalli, isolanti e semiconduttori. È inoltre importante nella fisica dei superconduttori, in quella dei liquidi quantici superfluidi come lo 3 He a basse temperature, nella fisica nucleare e per comprendere la stabilità delle nane bianche nei confronti del collasso gravitazionale.

                                     

1.2. Introduzione Approfondimenti sul contesto

Lenergia di Fermi E F di un sistema di fermioni non interagenti è pari allaumento totale di energia dello stato di valenza quando le particelle vengono aggiunte sola una alla volta nel sistema. Parimenti, può essere vista come lenergia di un singolo fermione nellultimo livello almeno parzialmente occupato, cioè quello a energia massima. Il potenziale chimico allo zero assoluto coincide con lenergia di Fermi.

                                     

2. Il caso della buca di potenziale in una dimensione

La buca di potenziale fornisce un modello per rappresentare una scatola unidimensionale: si tratta di un modello tipico della meccanica quantistica per il quale si conoscono le soluzioni relative al caso della particella singola. Indicando con n il numero quantico che distingue i livelli del sistema, lenergia è data da:

E n = ℏ 2 π 2 m L 2 n 2 {\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}}.

Supponiamo ora che invece di una sola particella, siano presenti nella buca N fermioni di spin semi-intero. Per il principio di esclusione di Pauli solo due particelle potranno avere la medesima energia; pertanto, solo due particelle potranno avere lenergia:

E 1 = ℏ 2 π 2 m L 2 {\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}}

altre due lenergia:

E 2 = 4 E 1 {\displaystyle E_{2}=4E_{1}\ }

e così via. Si noti, infatti, che trattandosi di fermioni, sono possibili i due stati di spin +1/2 spin su e spin -1/2 spin giù e pertanto è possibile avere due particelle con la medesima energia che però, in ottemperanza al Principio di Pauli, non hanno tutti i numeri quantici identici.

Se ora consideriamo lenergia totale del sistema, è evidente che la situazione in cui lenergia totale è minima cioè lo stato fondamentale è quella in cui tutti i livelli fino al N/2-esimo sono occupati e tutti quelli di energia maggiore vuoti. Lenergia di Fermi di tale stato fondamentale è dunque:

E f = E N / 2 = ℏ 2 π 2 m L 2 N / 2 {\displaystyle E_{f}=E_{N/2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}N/2^{2}}.


                                     

3. Il caso a 3 dimensioni

Il caso tridimensionale isotropico è noto come sfera di fermi.

Si consideri una scatola tridimensionale cubica di lato L si veda anche Buca di potenziale infinita, che si dimostra essere una ottima approssimazione per descrivere il comportamento degli elettroni in un metallo. Siano poi gli stati numerati da tre diversi numeri quantici n x, n y, and n z. Le energie della singola particella sono allora:

E n x, n y, n z = h 2 π 2 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 {\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\leftn_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right}

dove n x, n y, n z sono interi positivi. Ci sono evidentemente una pluralità di stati con la stessa energia; ad esempio E 1, 0, 0 = E 0, 1, 0 = E 0, 0, 1 {\displaystyle E_{1.0.0}=E_{0.1.0}=E_{0.0.1}}

Supponiamo di introdurre ora N fermioni di spin 1/2, non interagenti, nella nostra scatola. Per calcolare lenergia di Fermi consideriamo il caso di N elevato. Se introduciamo il vettore:

n → = { n x, n y, n z } {\displaystyle {\vec {n}}=\{n_{x},n_{y},n_{z}\}}

allora, ogni stato quantico corrisponderà, nello spazio n-dimensionale, a un punto con energia:

E n → = h 2 π 2 m L 2 | n → | 2 {\displaystyle E_{\vec {n}}={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|{\vec {n}}|^{2}}

Il numero di stati con energia minore di E f è pari al numero di stati allinterno della sfera di raggio | n → f | {\displaystyle |{\vec {n}}_{f}|}, ovviamente considerando solo quella regione dello spazio n-dimensionale dove n x, n y, n z sono tutti positivi. Nello stato fondamentale questo numero è uguale al numero di fermioni presenti nel sistema.

N = 2 × 1 8 × 4 3 π n f 3 {\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{f}^{3}}

dove il fattore 2 è, ancora una volta, dovuto al fatto che ci sono due diversi stati di spin, mentre il fattore 1/8 deriva dal fatto che solo un ottavo della sfera cade nella regione dove tutti gli n sono positivi. Si trova in questo modo:

n f = 3 N π 1 / 3 {\displaystyle n_{f}=\left{\frac {3N}{\pi }}\right^{1/3}}

cosicché lenergia di Fermi è data da:

E f = h 2 π 2 m L 2 n f 2 {\displaystyle E_{f}={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{f}^{2}} = h 2 π 2 m L 2 3 N π 2 / 3 {\displaystyle ={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left{\frac {3N}{\pi }}\right^{2/3}}

Ne deriva la seguente relazione tra lenergia di Fermi e il numero di particelle per unità di volume si noti che L 2 è stato rimpiazzato da V 2/3, essendo V il volume:

E f = h 2 m 6 π 2 N g s V 2 / 3 {\displaystyle E_{f}={\frac {h^{2}}{2m}}\left{\frac {6\pi ^{2}N}{g_{s}V}}\right^{2/3}}

Lenergia totale di un sfera di Fermi con N 0 {\displaystyle N_{0}} fermioni è così data da:

E = ∫ 0 N 0 E f N d N = 3 5 N 0 E f {\displaystyle E={\int _{0}}^{N_{0}}E_{f}NdN={3 \over 5}N_{0}E_{f}}
                                     

4.1. Energie di Fermi tipiche Nane bianche

Le stelle conosciute con il nome di nane bianche hanno massa comparabile con quella del nostro Sole, ma un raggio 100 volte minore. Le alte densità così raggiunte fanno sì che gli elettroni non siano più legati ai singoli nuclei, ma formino invece un gas elettronico degenerato. La densità elettronica in una nana bianca raggiunge lordine di 10 36 elettroni/m 3. Questo significa che lenergia di Fermi è:

E f = ℏ 2 m e 3 π 2 10 36 1 m 3) 2 / 3 ≈ 3 × 10 5 e V {\displaystyle E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left{\frac {3\pi ^{2}10^{36}}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} }
                                     

4.2. Energie di Fermi tipiche Nuclei

Un altro tipico esempio relativo allenergia di Fermi è quello delle particelle presenti in un nucleo atomico. Il raggio del nucleo è approssimativamente

R = 1.25 × 10 − 15 m × A 1 / 3 {\displaystyle R=\left1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right\times A^{1/3}}

dove A è il numero di nucleoni.

La densità di nucleoni in un nucleo è dunque:

n = A 4 3 π R 3 ≈ 1.2 × 10 44 m − 3 {\displaystyle n={\frac {A}\right)^{2/3}\approx 30\times 10^{6}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} }

Poiché il raggio del nucleo può variare intorno al valore sopra riportato, il valore tipico dellenergia di Fermi generalmente accettato è di 38 Mev.

                                     

5. Il livello di Fermi

Il livello di Fermi è il livello occupato di maggior energia allo zero assoluto: in altri termini, tutti i livelli energetici fino al livello di Fermi sono occupati da elettroni.

Poiché i fermioni non possono coesistere in stati energetici identici si veda il principio di esclusione, allo zero assoluto gli elettroni sono catturati dal livello energetico più basso disponibile creando il mare di Fermi di stati energetici elettronici. In queste condizioni, lenergia media di un elettrone è data da:

E a v = 3 5 E f {\displaystyle E_{av}={\frac {3}{5}}E_{f}}

dove E f {\displaystyle E_{f}} è lenergia di Fermi.

Il momento di Fermi e la velocità di Fermi sono rispettivamente limpulso e la velocità dei fermioni sulla superficie di Fermi, che si calcolano dallenergia con le usuali espressioni:

p F = 2 m E f {\displaystyle p_{F}={\sqrt {2m_{e}E_{f}}}} e V f = 2 E f m e {\displaystyle V_{f}={\sqrt {\frac {2E_{f}}{m_{e}}}}}

dove m e {\displaystyle m_{e}} è la massa dellelettrone.

Limpulso di Fermi è normalmente utilizzato nel caso delle relazioni di dispersione tra lenergia e limpulso che non dipendono dalla direzione. Nel caso più generale è invece necessario ricorrere direttamente allenergia di Fermi.

Sotto la cosiddetta temperatura di Fermi le sostanze mettono in evidenza via sempre più gli effetti quantistici del raffreddamento. Tale temperatura è definita da:

T f = E f k {\displaystyle T_{f}={\frac {E_{f}}{k}}}

dove k è la costante di Boltzmann.



                                     

6. Gas di elettroni liberi

In un gas di elettroni liberi la versione quantistica di un gas ideale di fermioni, gli stati quantistici possono essere distinti in base al loro impulso. Ciò è analogo a quanto avviene nei sistemi periodici, come nel caso degli elettroni allinterno della struttura cristallina di un metallo, introducendo il concetto di "quasi-momento" o "momento cristallino" si veda Onda di Bloch. In entrambi i casi, gli stati corrispondenti allenergia di Fermi giacciono, nello spazio dellimpulso, su una superficie detta superficie di Fermi. Per il gas di elettroni liberi, la superficie di Fermi coincide con la superficie di una sfera mentre, per sistemi periodici, è solitamente una superficie più complessa vedi Zone di Brillouin. Il volume racchiuso dalla superficie di Fermi definisce il numero di elettroni del sistema, mentre la topologia del volume è direttamente collegata alle proprietà di trasporto del metallo, come ad esempio la conduttività elettrica. Lo studio della superficie di Fermi è talora chiamata fermiologia. Le superfici di Fermi della maggior parte dei metalli sono state ampiamente studiate sia dal punto di vista teorico che sperimentale.

Lenergia di Fermi di un gas di elettroni liberi è collegata al potenziale chimico dalla relazione

μ = E F }

dove E F è lenergia di Fermi, k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura. Di conseguenza, il potenziale chimico è circa uguale allenergia di Fermi a temperature molto minori della temperatura di Fermi E F / k. Valori tipici della temperatura di Fermi per i metalli sono dellordine di 10 5 K. Di conseguenza, alla temperatura ambiente 300 K lenergia di Fermi e il potenziale chimico sono sostanzialmente equivalenti. Questa equivalenza è importante anche perché il potenziale chimico e non lenergia di Fermi è utilizzato della statistica di Fermi-Dirac.