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ⓘ Spostamento verso il rosso cosmologico




                                     

ⓘ Spostamento verso il rosso cosmologico

Lo spostamento verso il rosso cosmologico è lo spostamento relativo in frequenza di unonda elettromagnetica dovuto allespansione delluniverso. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito alleffetto Doppler, tramite la relazione

z ≈ v r c {\displaystyle z\approx {\frac {v_{r}}{c}}}

ma losservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. Lapprossimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se z ≪ 1 {\displaystyle z\ll 1}. Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze donda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dellespansione delluniverso. Ciò è verificato dal teorema del redshift.

                                     

1. Ipotesi

Supponiamo che luniverso si stia espandendo, e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala a t {\displaystyle at} per cui possiamo ipotizzare

D = a t r {\displaystyle D=atr}

dove r {\displaystyle r} è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto lespansione delluniverso.

                                     

2. Teorema del redshift

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza donda λ {\displaystyle \lambda } è proporzionale al fattore di scala delluniverso.

Consideriamo la Metrica di Robertson - Walker

d s 2 = c 2 d t 2 − a 2 t }

dove k {\displaystyle k} è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente r 1 {\displaystyle r_{1}} dalla terra che assumiamo posta nel punto r = 0 {\displaystyle r=0} e sotto i due angoli costanti θ {\displaystyle \theta } e φ {\displaystyle \varphi }. In tali condizioni la metrica si riduce a

d s 2 = c 2 d t 2 − a 2 t d r 2 1 − k r 2 {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a^{2}t{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}}

ora considerando che stiamo osservando unonda elettromagnetica dobbiamo porre d s 2 = 0 {\displaystyle ds^{2}=0} ottenendo

d t a t = − d r 1 − k r 2 1 {\displaystyle {\frac {dt}{at}}=-{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\qquad \quad 1}

.

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dellonda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo t 1 {\displaystyle t_{1}} e ricevuta ad un tempo t 0 {\displaystyle t_{0}}, e la seconda emessa ad un tempo t 1 + δ t 1 {\displaystyle t_{1}+\delta t_{1}} e ricevuta ad un tempo t 0 + δ t 0 {\displaystyle t_{0}+\delta t_{0}}.

Integrando la 1 per le due creste separatamente otteniamo

∫ t 1 t 0 d t a t = ∫ 0 r 1 d r 1 − k r 2 ≡ F r 1 {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{at}}=\int _{0}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\equiv Fr_{1}} ∫ t 1 + δ t 1 t 0 + δ t 0 d t a t = ∫ 0 r 1 d r 1 − k r 2 ≡ F r 1 {\displaystyle \int _{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{at}}=\int _{0}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\equiv Fr_{1}}

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

∫ t 1 t 0 d t a t = ∫ t 1 + δ t 1 t 0 + δ t 0 d t a t {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{at}}=\int _{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{at}}} ∫ t 1 t 0 d t a t = ∫ t 1 t 0 d t a t + ∫ t 0 t 0 + δ t 0 d t a t − ∫ t 1 t 1 + δ t 1 d t a t {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{at}}=\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{at}}+\int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{at}}-\int _{t_{1}}^{t_{1}+\delta t_{1}}{\frac {dt}{at}}} ∫ t 0 t 0 + δ t 0 d t a t = ∫ t 1 t 1 + δ t 1 d t a t {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{at}}=\int _{t_{1}}^{t_{1}+\delta t_{1}}{\frac {dt}{at}}}

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo a / a ≪ 1 {\displaystyle {\dot {a}}/a\ll 1}. Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante lemissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere

δ t 1 a t 1 = δ t 0 a t 0 {\displaystyle {\frac {\delta t_{1}}{at_{1}}}={\frac {\delta t_{0}}{at_{0}}}}

e quindi

δ t 0 δ t 1 = a t 0 a t 1 {\displaystyle {\frac {\delta t_{0}}{\delta t_{1}}}={\frac {at_{0}}{at_{1}}}}

moltiplicando e dividendo il primo membro per c {\displaystyle c} si ottiene

λ t 0 λ t 1 = a t 0 a t 1 ⇒ λ t = λ t 0 a t a t 0 {\displaystyle {\frac {\lambda t_{0}}{\lambda t_{1}}}={\frac {at_{0}}{at_{1}}}\qquad \Rightarrow \qquad \lambda t=\lambda t_{0}{\frac {at}{at_{0}}}}

il che è esattamente quello che intendevamo dimostrare.

                                     

3. Il redshift cosmologico

Se consideriamo, quindi, la definizione di "spostamento verso il rosso" abbiamo:

z = λ o − λ e λ e {\displaystyle z={\frac {\lambda _{o}-\lambda _{e}}{\lambda _{e}}}}

dunque, nel caso dello spostamento verso il rosso cosmologico si ottiene

z t = a t 0 a t − 1 {\displaystyle zt={\frac {at_{0}}{at}}-1}