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ⓘ Conoscenza comune




                                     

ⓘ Conoscenza comune

La conoscenza comune, in logica, è un particolare tipo di conoscenza allinterno di un gruppo di giocatori. Esiste conoscenza comune di p in un gruppo di giocatori G, quando tutti i giocatori allinterno di G conoscono p, sanno che tutti conoscono p, sanno che tutti sanno che tutti conoscono p e così via allinfinito.

Il concetto è stato introdotto per la prima volta da David Kellogg Lewis nel suo studio di letteratura filosofica Convention 1969. La prima formulazione matematica gli è stata data da Robert Aumann, nel 1976, sfruttando la Teoria degli insiemi.

Linteresse degli informatici per la logica epistemica in generale - e della conoscenza comune in particolare - a partire dagli anni ottanta.

                                     

1. Esempio

Si usa introdurre il concetto di conoscenza comune attraverso alcune varianti del seguente problema:

La risposta è che, alla k-esima alba dopo il giorno dellannuncio, tutte le persone con gli occhi azzurri avranno lasciato lisola.

Questo può essere facilmente dedotto con un approccio induttivo: se k=1, la persona si renderà conto di avere gli occhi blu osservando che tutti gli altri hanno gli occhi verdi, e lascerà quindi lisola alla prima alba. Se k=2, nessuno lascerà lisola alla prima alba. Le persone con gli occhi blu però, vedendo una sola persona con gli occhi blu, e osservando che nessuno ha lasciato lisola la prima alba, se ne andranno entrambe. Quindi, procedendo con questo ragionamento, si può affermare che nessuno lascerà lisola le prime k-1 albe se e solo se ci sono almeno k persone con gli occhi blu. Coloro che hanno gli occhi blu, vedendo k-1 persone con gli occhi blu tra gli altri, e sapendo che ce ne devono essere almeno k, ne dedurranno che hanno gli occhi e blu, e quindi se ne andranno.

La cosa più interessante di questo problema è che, laddove k> 1, lesterno sta dicendo ai cittadini ciò che già sanno: che ci sono persone con gli occhi azzurri tra di essi. Tuttavia, prima che questa affermazione sia fatta, laffermazione stessa non è conoscenza comune.

Per k> 2 è conoscenza di k-1 esimo ordine. Dopo k-1 giorni ogni persona con gli occhi azzurri sa che una seconda persona con gli occhi azzurri sa che una terza persona con gli occhi azzurri sa che si ripete k-1 volte, una k-esima persona ha gli occhi azzurri. Tuttavia nessuno sa che cè una k-esima persona con gli occhi azzurri con questa conoscenza fino allarrivo del k-esimo giorno. La nozione di conoscenza comune ha pertanto un effetto evidente. Sapere che ognuno sa fa una bella differenza.

                                     

2.1. Formalismo Logica modale caratterizzazione sintattica

Si può dare una definizione logica alla conoscenza comune attraverso sistemi di Logica multi-modale nei quali gli operatori modali sono interpretati servendosi della Logica epistemica. A livello proposizionale, questi sistemi estensioni di Logica proposizionale. Lestensione consiste nellintroduzione di un gruppo G di giocatori e di n operatori modali K i con i = 1.,n col significato preciso di "lagente i sa". Così K i φ {\displaystyle \varphi } dove φ {\displaystyle \varphi } è una formula del calcolo, si legge "il giocatore i conosce φ {\displaystyle \varphi }." Possiamo definire un operatore E G col significato di "ognuno nel gruppo G sa", definendolo con lassioma:

E φ ⇔ ⋀ i ∈ G K i φ {\displaystyle E\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i\in G}K_{i}\varphi }

Semplificando lespressione E G E G n − 1 φ {\displaystyle E_{G}E_{G}^{n-1}\varphi } con E G n φ {\displaystyle E_{G}^{n}\varphi }, e definendo E G 0 φ = φ {\displaystyle E_{G}^{0}\varphi =\varphi }, possiamo dunque definire la conoscenza comune con lassioma:

C φ ⇔ ⋀ i = 1 n E n φ {\displaystyle C\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i=1}^{n}E^{n}\varphi } con n = 1, 2. {\displaystyle n=1.2.}
                                     

2.2. Formalismo Teoria degli insiemi caratterizzazione semantica

Alternativamente la conoscenza comune può essere formalizzata attraverso la Teoria degli insiemi questo è stato il percorso seguito dal premio Nobel per leconomia Robert Aumann nel suo articolo del 1976.

Inizieremo con un insieme di stati S. Possiamo quindi definire un evento E come sottoinsieme dellinsieme di stati S. Per ogni giocatore i, si definisca una partizione di S, P i. Questa partizione rappresenta lo stato di conoscenza di un giocatore in uno stato. Nello stato s, il giocatore i sa che uno degli stati in P i s si verifica, ma non sa quale.

Possiamo ora definire una funzione conoscenza K nella seguente maniera:

K i e = { s ∈ S | P i s ⊂ e } {\displaystyle K_{i}e=\{s\in S|P_{i}s\subset e\}}

K i e è linsieme di stati in cui lagente i saprà che levento e si verifica.

Similmente alla formulazione di logica modale di cui sopra, possiamo definire un operatore per il concetto di "ognuno sa di e ":

e = ⋂ i K i e {\displaystyle Ee=\bigcap _{i}K_{i}e}

Come con loperatore modale, ripeteremo la funzione E, E 1 e = e {\displaystyle E^{1}e=Ee}, E n + 1 e = E n e) {\displaystyle E^{n+1}e=EE^{n}e)}. Utilizzando quanto finora detto, possiamo definire una comune funzione conoscenza:

C e = ⋂ n = 1 ∞ E n e {\displaystyle Ce=\bigcap _{n=1}^{\infty }E^{n}e}


                                     

3. Applicazioni

La conoscenza comune è stata usata da David Lewis nel suo "gioco teorico" tratto da Convention. In questo senso, la conoscenza comune è ancora un argomento ancora centralissimo per i filologi e i filosofi del linguaggio, mantenendo un conto Lewisiano convenzionale del linguaggio stesso.

Robert Aumann ha introdotto una formulazione teorica insiemistica della conoscenza comune teoricamente del tutto uguale a quella di cui sopra e con essa ha dimostrato il cosiddetto "teorema dellaccordo": se due agenti hanno una comune probabilità precedente circa un certo evento, le loro probabilità successive sono in conoscenza comune, allora le probabilità successive sono uguali. Un risultato basato sul teorema dellaccordo e dimostrato da Paul Milgrom e Nancy Stokey dimostra che, poste certe condizioni sullefficienza del mercato e sullinformazione, un commercio speculativo è impossibile.

Il concetto di conoscenza comune è centrale nella Teoria dei Giochi. Per molti anni si è pensato che lassunzione di conoscenza comune della razionalità dei giocatori allinterno del gioco fosse fondamentale. Si scoprì poi che, in un gioco a due giocatori, la conoscenza comune della razionalità non fosse necessaria come condizione epistemica delle strategie dellEquilibrio di Nash.

Gli informatici utilizzano linguaggi incorporando la logica epistemica e la conoscenza comune nei sistemi distribuiti. Simili sistemi possono basarsi su logiche più complicate della semplice logica epistemica proposizionale.