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ⓘ Spostamento verso il rosso gravitazionale




Spostamento verso il rosso gravitazionale
                                     

ⓘ Spostamento verso il rosso gravitazionale

Lo spostamento verso il rosso gravitazionale è lo spostamento relativo in frequenza di unonda elettromagnetica dovuto alla forza di gravità di un oggetto compatto.

La luce e ogni altra forma di radiazione elettromagnetica dotata di una determinata lunghezza donda, che si origina da una sorgente situata in una regione attraversata da un intenso campo gravitazionale, non appena entra in una regione di spazio in cui lintensità del campo gravitazionale è inferiore, ha una lunghezza donda superiore a quella originaria; la radiazione di conseguenza diviene meno energetica e con una frequenza inferiore rispetto alloriginale. Tale "stiramento" della lunghezza donda appare, nelle frequenze del visibile, come uno spostamento della radiazione verso la parte rossa dello spettro elettromagnetico.

                                     

1. Definizione

Lo spostamento verso il rosso è spesso indicato con la variabile adimensionale z {\displaystyle z}, definita come il mutamento frazionario della lunghezza donda

z = λ o − λ e λ e {\displaystyle z={\frac {\lambda _{o}-\lambda _{e}}{\lambda _{e}}}}

Dove λ o {\displaystyle \lambda _{o}} è la lunghezza donda della radiazione elettromagnetica fotone come misurata dallosservatore. λ e {\displaystyle \lambda _{e}} è la lunghezza donda della radiazione elettromagnetica fotone misurata alla sorgente di emissione.

Lo spostamento verso il rosso gravitazionale deve essere calcolato nel quadro della relatività generale come

z = 1 − r s r − 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}}-1}

con il raggio di Schwarzschild r s = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}, dove G {\displaystyle G} indica la costante gravitazionale di Newton, M {\displaystyle M} la massa del corpo gravitante, c {\displaystyle c} la velocità della luce e r {\displaystyle r} la distanza tra il centro di massa del corpo gravitante e il punto dal quale il fotone è stato emesso.

Nel limite newtoniano, cioè, quando r {\displaystyle r} è sufficientemente grande rispetto al raggio di Schwarzschild r s {\displaystyle r_{s}}, lo spostamento verso il rosso diventa

z a p r o x = 1 2 r s r = G M c 2 r {\displaystyle z_{\mathrm {approx} }={\frac {1}{2}}{\frac {r_{s}}{r}}={\frac {GM}{c^{2}r}}}

                                     

2. Storia

Lindebolimento gravitazionale della luce proveniente dalle stelle ad alta gravità è stata prevista da John Michell nel 1783 e da Pierre-Simon Laplace nel 1796, utilizzando il concetto di Isaac Newton di corpuscoli di luce vedi: teoria di emissione prevedendo che alcune stelle avrebbero una gravità così forte che la luce non sarebbe stata capace di sfuggire. Leffetto della gravità sulla luce venne poi esplorato da Johann von Soldner 1801, il quale calcolò la quantità di deflessione di un raggio di luce proveniente dal Sole, arrivando alla soluzione newtoniana la quale è metà del valore previsto dalla relatività generale. Tutto questo lavoro iniziale dava per scontato che la luce poteva rallentare e diminuire, il che era in contrasto con la concezione moderna sulle onde luminose.

Una volta che venne accettato il fatto che la luce è unonda elettromagnetica, divenne chiaro che la frequenza della luce non sarebbe dovuta cambiare da un luogo allaltro, dal momento che le onde emanate da una sorgente a frequenza fissa mantengono la stessa frequenza ovunque. Lunico modo di aggirare questa conclusione sarebbe se il tempo stesso fosse alterato - se gli orologi in punti diversi avessero velocità rate differenti.

Questa fu precisamente la conclusione di Einstein nel 1911. Egli prendeva in considerazione una "scatola di accelerazione", e notava che in base alla teoria della relatività ristretta, la velocità dellorologio sul fondo della scatola era più lenta di quella dellorologio in cima a essa. Oggi, ciò può essere facilmente dimostrato nelle coordinate accelerate. Il tensore metrico in unità dove la velocità della luce è uno, è:

d s 2 = − r 2 d t 2 + d r 2 {\displaystyle ds^{2}=-r^{2}dt^{2}+dr^{2}}

e per un osservatore a un valore costante di r, la velocità rate in cui un orologio ticchetta, Rr, è la radice quadrata del coefficiente di tempo, Rr=r. Laccelerazione alla posizione r è uguale alla curvatura delliperbole a r fisso, e come la curvatura dei cerchi annidati nelle coordinate polari, essa è uguale a 1/r.

Così per un valore fisso di g, il tasso di variazione frazionaria del mutamento della velocità dellorologio, la variazione percentuale nel ticchettio in cima alla scatola di accelerazione rispetto a quello in basso, è:

r + d r − R = d r = g d r {\displaystyle {Rr+dr-Rr \over R}={dr \over r}=gdr}

Il tasso è più veloce per valori più grandi di R, lontano dalla direzione apparente dellaccelerazione. Il tasso è zero per r=0, che è la posizione dellorizzonte di accelerazione.

Usando il principio di equivalenza, Einstein concludeva che la stessa cosa vale in qualsiasi campo gravitazionale, che la velocità rate di R orologi a diverse altezze veniva modificata a seconda del campo gravitazionale g. Quando g varia lentamente, dà la velocità rate frazionata della variazione dellandamento del ticchettio. Se il ritmo rate del ticchettio è quasi ovunque lo stesso, quello frazionato del cambiamento è lo stesso di quello assoluto del cambiamento, in modo che:

d R d x = g = − d V d x {\displaystyle {dR \over dx}=g=-{dV \over dx}}

Poiché landamento degli orologi e il potenziale gravitazionale hanno la stessa derivata, essi sono gli stessi fino a una costante, scelta per rendere landamento dellorologio allinfinito uguale a 1. Poiché il potenziale gravitazionale allinfinito è zero:

R x = 1 − V x c 2 {\displaystyle Rx=1-{Vx \over c^{2}}}

dove la velocità della luce è stata ristabilita per rendere ladimensionalità del potenziale gravitazionale.

Il coefficiente di d t 2 {\displaystyle dt^{2}} nel tensore metrico è il quadrato della velocità rate dellorologio, il quale per piccoli valori del potenziale è dato tenendo soltanto il termine lineare:

R 2 = 1 − 2 V {\displaystyle R^{2}=1-2V}

e il tensore metrico completo è:

d s 2 = − 1 − 2 V r c 2) c 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 {\displaystyle ds^{2}=-1-{2Vr \over c^{2}})c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}

dove di nuovo le c sono state ristabilite. Questa espressione è corretta nella teoria completa della relatività generale, per lordine più basso nel campo gravitazionale, e ignorando la variazione dei componenti dello spazio-spazio e spazio-tempo del tensore metrico, il quale influisce solo sugli oggetti in rapido movimento.

Usando questa approssimazione, Einstein riprodusse nel 1909 il valore inesatto newtoniano per la deflessione della luce. Ma dal momento che un raggio di luce è un oggetto in rapido movimento, anche i componenti dello spazio-spazio apportano il loro contributo. Dopo la formulazione nel 1916 della teoria della relatività generale completa, Einstein risolse per le componenti dello spazio-spazio in unapprossimazione post-newtoniana, calcolando la quantità esatta di deflessione luminosa, il doppio del valore newtoniano. La previsione di Einstein venne confermata da molti esperimenti, a partire dalla spedizione di Arthur Eddington per osservare leclissi solare del 1919.

I tassi rates di mutamento degli orologi consentono a Einstein di concludere che le onde luiminose mutano frequenza in base al loro moto e la relazione frequenza/energia per i fotoni gli permise di osservare che il fenomeno fosse meglio interpretato come un effetto del campo gravitazionale sulla massa-energia del fotone. Per calcolare i mutamenti in frequenza in un campo gravitazionale quasi statico, solo la componente tempo del tensore metrico è rilevante, e lapprossimazione di ordine inferiore è abbastanza accurata per i pianeti le stelle ordinarie, che sono molto più grandi del loro raggio di Schwarzschild.

                                     

3. Aspetti importanti

  • Il punto finale della ricezione della trasmissione della luce deve essere collocato a un potenziale gravitazionale maggiore affinché venga osservato lo spostamento verso il rosso gravitazionale. In altre parole, losservatore deve trovarsi a monte uphill della sorgente. Se losservatore è a un potenziale gravitazionale inferiore rispetto alla fonte, può invece osservare uno spostamento verso il blu gravitazionale.
  • I test fatti in molte università continuano a sostenere lesistenza dello spostamento verso il rosso gravitazionale.
  • Lo spostamento verso il rosso gravitazionale non è previsto solo dalla relatività generale. Altre teorie riguardanti la gravitazione richiedono lo spostamento verso il rosso gravitazionale, sebbene le loro spiegazioni dettagliate, del perché questo accade, variano ogni teoria che comprende la conservazione dellenergia e lequivalenza massa-energia deve includere lo spostamento verso il rosso gravitazionale.
  • Lo spostamento verso il rosso gravitazionale non assume la soluzione della metrica di Schwarzschild per lequazione di campo di Einstein - in cui la variabile M {\displaystyle M\;} non rappresenta la massa di ogni corpo carico o rotante.


                                     

4. Prima verifica

Un certo numero di sperimentatori inizialmente affermavano di aver individuato leffetto usando misurazioni astronomiche: W.S. Adams nel 1925 ritenne di averlo individuato nelle linee spettrali della stella Sirio B. Tuttavia, le misurazioni delleffetto prima degli anni 60 sono state criticate per es., da C.M. Will, e leffetto viene adesso considerato definitivamente accertato dagli esperimenti di Pound, Rebka e Snider effettuati tra il 1959 e il 1965.

Lesperimento di Pound-Rebka del 1959 misurava lo spostamento verso il rosso gravitazionale nelle linee spettrali usando una sorgente terrestre di raggi gamma di 57 Fe. Questo è stato documentato dagli scienziati del Laboratorio di fisica allUniversità di Harvard. Una verifica sperimentale comunemente citata è lesperimento di Pound-Snider del 1965.

                                     

5. Soluzioni esatte

Una tabella di soluzioni esatte delle equazioni di campo di Einstein è la seguente:

Lesatta equazione usata più spesso per lo spostamento verso il rosso gravitazionale si applica nel caso estremo di una massa senza carica, non-rotante e sfericamente simmetrica. Lequazione è:

z = 1 − 2 G M r c 2 − 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {1-\left{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right}}}-1}, dove

  • r {\displaystyle r} è la coordinata radiale dellosservatore il quale è analoga alla distanza classica dal centro delloggetto, ma è in effetti una coordinata di Schwarzschild,
  • M {\displaystyle M} è la massa delloggetto che crea il campo gravitazionale,
  • c {\displaystyle c} è la velocità della luce.
  • G {\displaystyle G} è la costante gravitazionale,
                                     

6. Spostamento verso il rosso gravitazionale rispetto alla dilatazione temporale gravitazionale

Quando si usano le relazioni delleffetto Doppler relativistico della relatività ristretta per calcolare il mutamento in energia e frequenza, allora lo spostamento verso il rosso gravitazionale e i rapporti di frequenza dello spostamento verso il blu sono linverso uno dellaltro, suggerendo che il mutamento di frequenza "osservata" corrisponde alla effettiva differenza nella velocità di clock sottostante. Potrebbe entrare in gioco la dipendenza dal percorso dovuta alleffetto di trascinamento, la quale inficerebbe questidea complicando il processo che determina le differenze globalmente concordate nella sottostante frequenza di clock.

Mentre lo spostamento verso il rosso gravitazionale si riferisce a ciò che viene osservato, la dilatazione temporale gravitazionale si riferisce alla deduzione di quello che "veramente" succede una volta che gli effetti di osservazione vengano presi in considerazione.