Indietro

ⓘ Teorema dell'assorbimento




                                     

ⓘ Teorema dellassorbimento

Nellalgebra di Boole vale il teorema dellassorbimento, utilizzato nella sintesi e nellanalisi di un circuito combinatorio in elettronica digitale. Il teorema in realtà ne contiene due e i rispettivi duali e afferma che date due variabili booleane A, B {\displaystyle A,B}:

Primo teorema dellassorbimento:

A ⋅ A + B = A {\displaystyle A\cdot A+B=A} A + A ⋅ B = A {\displaystyle A+A\cdot B=A}

Secondo teorema dellassorbimento:

A + A ¯ ⋅ B = A + B {\displaystyle A+{\overline {A}}\cdot B=A+B} A ⋅ A ¯ + B = A ⋅ B {\displaystyle A\cdot {\overline {A}}+B=A\cdot B}
                                     

1. Dimostrazioni

Dimostriamo il primo teorema:

A ⋅ A + B = A ⋅ A + A ⋅ B = A + A ⋅ B = A ⋅ 1 + A ⋅ B = A ⋅ 1 + B = A ⋅ 1 = A {\displaystyle A\cdot A+B=A\cdot A+A\cdot B=A+A\cdot B=A\cdot 1+A\cdot B=A\cdot 1+B=A\cdot 1=A}

e il suo duale si dimostra così:

A + A ⋅ B = A ⋅ 1 + A ⋅ B = A ⋅ 1 + B = A ⋅ 1 = A {\displaystyle A+A\cdot B=A\cdot 1+A\cdot B=A\cdot 1+B=A\cdot 1=A}

Per quanto riguarda il secondo teorema, si ha:

A + A ¯ ⋅ B = A + A ¯ ⋅ A + B = 1 ⋅ A + B = A + B {\displaystyle A+{\overline {A}}\cdot B=A+{\overline {A}}\cdot A+B=1\cdot A+B=A+B}

e il suo duale si dimostra così:

A ⋅ A ¯ + B = A ⋅ A ¯ + A ⋅ B = A ⋅ B {\displaystyle A\cdot {\overline {A}}+B=A\cdot {\overline {A}}+A\cdot B=A\cdot B}