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ⓘ Equazione di Slutsky




                                     

ⓘ Equazione di Slutsky

L equazione di Slutsky in economia, dal nome delleconomista Eugen Slutsky, mette in relazione i cambiamenti nella domanda walrasiana con i cambiamenti nella domanda hicksiana.

In particolare, dimostra che i cambiamenti nella domanda dovuti a variazioni di prezzo sono il risultato di due effetti:

  • leffetto reddito, che deriva dal fatto che la variazione di prezzo modifica anche il reddito reale del consumatore e, con questo, anche le quantità domandate dei singoli beni.
  • leffetto sostituzione, che risulta dal cambiamento del prezzo relativo dei beni;

In termini formali si ha:

∂ x i p, w ∂ p j = ∂ h i p, u ∂ p j − ∂ x i p, w ∂ w x j p, w, {\displaystyle {\partial x_{i}\mathbf {p},w \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}\mathbf {p},u \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}\mathbf {p},w \over \partial w}x_{j}p,w,}

dove h p, u {\displaystyle \ h\mathbf {p},u} è la domanda hicksiana e x p, w {\displaystyle \ x\mathbf {p},w} è la domanda walrasiana, ai prezzi p, patrimonio w {\displaystyle \ w}, e utilità u {\displaystyle \ u}. Il primo termine rappresenta leffetto di sostituzione e il secondo termine leffetto reddito.

La stessa equazione può essere riscritta in forma matriciale:

D p x p, w = D p h p, u − D w x p, w x p, w ⊤ {\displaystyle D_{p}x\mathbf {p},w=D_{p}h\mathbf {p},u-D_{w}x\mathbf {p},w\ x\mathbf {p},w^{\top }},

dove:

  • D w x p, w {\displaystyle \ D_{w}x\mathbf {p},w} è il vettore delle derivate parziali del vettore delle domande walrasiane rispetto al patrimonio;
  • D p h p, u {\displaystyle \ D_{p}h\mathbf {p},u} è la matrice delle derivate parziali del vettore delle domande hicksiane rispetto al vettore dei prezzi, ed è chiamata appunto matrice di Slutsky ;
  • x p, w ⊤ {\displaystyle \ x\mathbf {p},w^{\top }} è il vettore riga delle domande walrasiane.
  • D p x p, w {\displaystyle \ D_{p}x\mathbf {p},w} è la matrice delle derivate parziali del vettore delle domande walrasiane rispetto al vettore dei prezzi;