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ⓘ Tasso d'interesse




Tasso dinteresse
                                     

ⓘ Tasso dinteresse

In economia, il tasso di interesse effettivo rappresenta la percentuale dellinteresse su un prestito e limporto della remunerazione spettante al prestatore, in parole povere è il "prezzo del noleggio del denaro".

Viene espresso come una percentuale per un dato periodo di tempo e indica quanta parte della somma prestata debba essere corrisposta come interesse al termine del tempo considerato o, da un altro punto di vista, indica il costo del denaro. Il debitore, infatti, ricevendo una somma di denaro, si impegna a pagare una somma superiore a quella ricevuta. La differenza costituisce linteresse, che viene solitamente calcolato in percentuale sulla somma prestata. Tale percentuale costituisce il tasso di interesse. Il tasso dinteresse è variabile anche in funzione della moneta di riferimento, del rischio connesso alla solvibilità del debitore e della lunghezza del periodo di riferimento.

Oltre che dalla percentuale, i tassi dinteresse sono caratterizzati dal cosiddetto regime di capitalizzazione degli interessi, che può essere semplice o composto. Se la durata del prestito è superiore al periodo di tempo per cui linteresse viene conteggiato, si parla di tasso di interesse composto, perché vengono conteggiati nel calcolo dellinteresse finale anche gli interessi parziali già maturati per ogni periodo.

                                     

1. Interesse semplice

Linteresse viene detto semplice quando è proporzionale al capitale e al tempo. Ovvero gli interessi, maturati da un dato capitale nel periodo di tempo considerato, non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti capitalizzazione e, quindi, non maturano a loro volta interessi.

Indicando con:

  • t durata temporale delloperazione, espressa in numero di periodi in genere anni
  • i il tasso di interesse periodale anche detto interesse semplice o interesse
  • M il capitale finale, detto anche montante, pari alla somma di capitale iniziale più gli interessi maturati
  • C il capitale iniziale

si avrà che il montante al tempo t sarà la soluzione della seguente equazione alle differenze con M 0 = C {\displaystyle M_{0}=C}:

M t + 1 = M t + i M 0 = M t + i C {\displaystyle \ M_{t+1}=M_{t}+iM_{0}=M_{t}+iC}

Pertanto si ha:

M 1 = M 0 + i C = C + i C {\displaystyle \ M_{1}=M_{0}+iC=C+iC} M 2 = M 1 + i C = C + i C + i C = C + 2 i C {\displaystyle \ M_{2}=M_{1}+iC=C+iC+iC=C+2iC} M t = M t − 1 + i C = C + t − 1 i C + i C = C + t i C = C 1 + t i {\displaystyle \ M_{t}=M_{t-1}+iC=C+t-1iC+iC=C+tiC=C1+ti}
                                     

2. Interesse composto

Linteresse viene detto composto quando, invece di essere pagato o riscosso, è aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto. Questo comporta che alla maturazione degli interessi il montante verrà riutilizzato come capitale iniziale per il periodo successivo, ovvero anche linteresse produce interesse.

Linteresse composto si divide in:

  • continuo o matematico.
  • discontinuo annuo;
  • discontinuo convertibile;
                                     

2.1. Interesse composto Montante ad interesse composto discontinuo annuo

In questo caso gli interessi si sommano al capitale iniziale che li ha prodotti al termine di ogni anno.

Per determinare il montante di un capitale C {\displaystyle C}, dopo un numero t {\displaystyle t} di anni e impiegato ad interesse composto annuo i {\displaystyle i}, si ha che il montante al tempo t sarà la soluzione della seguente equazione alle differenze con M 0 = C {\displaystyle M_{0}=C}:

M t + 1 = M t + i M t = M t 1 + i {\displaystyle \ M_{t+1}=M_{t}+iM_{t}=M_{t}1+i} M 1 = M 0 1 + i {\displaystyle \ M_{1}=M_{0}1+i} M t = M t − 1 + i = C 1 + i t − 1 + i = C 1 + i t {\displaystyle \ M_{t}=M_{t-1}1+i=C1+i^{t-1}1+i=C1+i^{t}}
                                     

2.2. Interesse composto Montante ad interesse composto discontinuo convertibile

In questo caso gli interessi maturano t {\displaystyle t} volte durante lanno, ma sempre in periodi definiti. In genere viene definito un tasso annuo nominale i {\displaystyle i} al quale corrisponde un tasso convertibile i c {\displaystyle i_{c}} dato da:

i c = i t {\displaystyle \ i_{c}={\frac {i}{t}}}.

Per il calcolo del montante si applica la stessa formula impiegata per linteresse composto continuo annuo:

M n = C 1 + i c n t = C 1 + i t n t {\displaystyle \ M_{n}=C1+i_{c}^{nt}=C\left1+{\frac {i}{t}}\right^{nt}}.

dove i c {\displaystyle i_{c}} è linteresse convertibile e n t {\displaystyle nt} indica il numero di volte in cui linteresse convertibile matura nellintero periodo.

                                     

2.3. Interesse composto Montante ad interesse composto continuo o matematico

In questo caso gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti ad ogni istante. Il tasso dinteresse composto a capitalizzazione continua ha applicazioni soprattutto teoriche, nella matematica finanziaria; sebbene sia rilevante nelle applicazioni relative alle più semplici operazioni finanziarie, è ad esempio ampiamente utilizzato nelle formule di valutazione di operazioni finanziarie complesse, come nella valutazione delle opzioni.

Linteresse in capitalizzazione continua può essere giustificato come segue. Si consideri un tasso annuale i {\displaystyle i}, e si supponga di suddividere lanno in t {\displaystyle t} periodi, al termine di ciascuno dei quali viene corrisposta una frazione dellinteresse relativo allintero anno pari a i t {\displaystyle {\frac {i}{t}}}, che viene immediatamente reinvestita. A partire da un capitale iniziale C {\displaystyle C}, il montante al termine di n {\displaystyle n} anni sarà allora:

M n = C 1 + i t n t {\displaystyle \ M_{n}=C\left1+{\frac {i}{t}}\right^{nt}}

Passando al limite per t {\displaystyle t} che tende a infinito, si ha il caso in cui un flusso continuo di pagamenti viene reinvestito in maniera continua; il montante sarà dato da:

M n = lim t → ∞ C 1 + i t n t = C e i n {\displaystyle \ M_{n}=\lim _{t\to \infty }C\left1+{\frac {i}{t}}\right^{nt}=Ce^{in}},

ricorrendo al limite notevole che definisce il numero di Nepero e {\displaystyle e}. Nel caso in cui il tasso i {\displaystyle i} è una funzione i t {\displaystyle it} il cui valore varia nel tempo, si generalizza lespressione precedente come:

M t = C exp ⁡ { ∫ 0 t i τ d τ } {\displaystyle \ Mt=C\exp \left\{\int _{0}^{t}i\taud\tau \right\}}


                                     

3. Leggi di equivalenza finanziaria

Due tassi dinteresse, relativi a periodi diversi di capitalizzazione, si dicono equivalenti se, a parità di capitale iniziale e di periodo di applicazione, producono lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

                                     

3.1. Leggi di equivalenza finanziaria Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice

Per determinare la relazione tra due tassi unitari a interesse semplice i s 1 {\displaystyle i_{s1}} e i s 2 {\displaystyle i_{s2}} è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti da periodi di tempo t 1 {\displaystyle t_{1}} e t 2 {\displaystyle t_{2}} differenti:

M = C 1 + i s 1 t 1 = C 1 + i s 2 t 2 {\displaystyle \ M=C1+i_{s1}t_{1}=C1+i_{s2}t_{2}}.

Noto uno dei due tassi è possibile ottenere laltro ad esso equivalente tramite le seguenti relazioni:

i s 1 = i s 2 t 2 t 1 {\displaystyle i_{s1}={\frac {i_{s2}t_{2}}{t_{1}}}}

e

i s 2 = i s 1 t 1 t 2 {\displaystyle i_{s2}={\frac {i_{s1}t_{1}}{t_{2}}}}.
                                     

3.2. Leggi di equivalenza finanziaria Relazione tra tassi equivalenti nel regime ad interesse composto discontinuo

Per determinare la relazione tra due tassi unitari ad interesse composto i c1 e i c2 è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti da periodi di tempo t 1 e t 2 differenti:

M = C 1 + i c 1 t 1 = C 1 + i c 2 t 2 {\displaystyle M=C1+i_{c1}^{t_{1}}=C1+i_{c2}^{t_{2}}}.

Da questa si ottengono relativamente le relazioni:

i c 1 = 1 + i c 2 t 2 t 1 − 1 {\displaystyle i_{c1}=1+i_{c2}^{\frac {t_{2}}{t_{1}}}-1}

e

i c 2 = 1 + i c 1 t 1 t 2 − 1 {\displaystyle i_{c2}=1+i_{c1}^{\frac {t_{1}}{t_{2}}}-1}.
                                     

3.3. Leggi di equivalenza finanziaria Relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti

Per determinare la relazione tra due tassi unitari i s regime a interesse semplice e i c regime a interesse composto è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti dallo stesso periodo di tempo t:

M = C 1 + i s t = C 1 + i c t {\displaystyle \ M=C1+i_{s}t=C1+i_{c}^{t}}.

Da questa si ottengono le relazioni:

i s = 1 + i c t − 1 t {\displaystyle i_{s}={\frac {1+i_{c}^{t}-1}{t}}}

e

i c = 1 + i s t − 1 {\displaystyle i_{c}={\sqrt{1+i_{s}t}}-1}.

Si può notare come lequivalenza dipenda dalla durata della capitalizzazione.

                                     

4. Esempio pratico

Supponiamo che Tizio prenda oggi a prestito da una banca una somma C pari a 1.000 euro da restituire dopo un anno t, aumentata degli interessi maturati nel corso di quellanno I pari al 5%. Per motivi di semplicità supponiamo irrealisticamente che la banca erogante non chieda commissioni o spese per listruzione della pratica.

In regime di capitalizzazione semplice, gli interessi maturati dopo un anno sono pari a

I = 1.000 x 0.05 = 50

E quindi il montante da rimborsare dopo un anno è pari a

M = 1.000 + I = 1.050

Invece se il tasso del 5% applicato fosse in regime di capitalizzazione composta, cioè un tasso annuo nominale con capitalizzazione trimestrale degli interessi, la banca che ha prestato il capitale iniziale di 1.000 euro, dopo i primi 3 mesi dal giorno in cui ha erogato il prestito procederebbe a "liquidare gli interessi", cioè a calcolare gli interessi maturati fino a quel momento, e quindi li capitalizzerebbe, cioè aggiungerebbe quegli interessi alla somma inizialmente data in prestito. Poiché il tasso stabilito è un tasso annuo, la banca, per calcolare gli interessi maturati in tre mesi, considererebbe solo lequivalente frazione di tre dodicesimi cioè un quarto del tasso annuo stabilito.

I 1 = 1.000 x 0.05 x 3/12) = 12.5

Le cose inizierebbero ad essere diverse a partire dalla seconda capitalizzazione degli interessi. Infatti, allo scadere del secondo trimestre, la banca utilizzerebbe la stessa formula esposta sopra, ma questa volta la base sulla quale calcolerebbe gli interessi maturati non sarebbe più di 1.000 euro, ma di 1.012.5 euro:

I 2 = 1.012.5 x 0.05 x 3/12) = 12.66

Come si vede già limporto di interessi maturati in questo regime non è più uguale agli interessi maturati nel regime precedente, ma è maggiore. Laumento continua ricorsivamente nei trimestri successivi:

I 3 = 1.025.156 x 0.05 x 3/12) = 12.81 I 4 = 1.037.97 x 0.05 x 3/12) = 12.97

Il totale degli interessi maturati nel corso dellanno con questo regime di capitalizzazione sarebbe pari a 12.5 + 12.66 + 12.81 + 12.97 = 50.94 euro. Di conseguenza il montante M ammonterebbe a 1.050.95 euro.

La tabella che segue riepiloga schematicamente quanto illustrato nellesempio:

Esistono dei prospetti chiamate tavole finanziarie che evidenziano a quale tasso annuo effettivo quello del regime semplice corrisponde un tasso annuo nominale con capitalizzazione periodale degli interessi quello del regime composto. Nellesempio esposto sopra si è evidenziato come il tasso annuo nominale del 5% con capitalizzazione trimestrale corrisponda al tasso annuo effettivo del 5.0945%. Se la capitalizzazione degli interessi fosse avvenuta più frequentemente di una volta ogni tre mesi ad esempio, al termine di ogni settimana allora la differenza fra i due regimi sarebbe stata ancora maggiore. Infatti a un tasso annuo nominale del 5% con capitalizzazione settimanale degli interessi corrisponde un tasso annuo effettivo del 5.1246%.



                                     

5. Composizioni di interessi relativi a periodi di tempo differenti

Indipendentemente dal regime di capitalizzazione adottato, un tasso dinteresse semplice o composto può essere riferito ad un orizzonte temporale diverso, mediante una formula di conversione.

Per calcolare linteresse riferito ad un periodo di tempo più lungo t 1 {\displaystyle t_{1}}, in cui t 0 {\displaystyle t_{0}} è contenuto k {\displaystyle k} volte, si può utilizzare la seguente formula, per t 1 > t 0 {\displaystyle t_{1}> t_{0}}:

i t 1 = 1 + i t 0 k − 1 {\displaystyle i_{t_{1}}={1+i_{t_{0}}}^{k}-1}

La formula è utilizzata, ad esempio, se si dispone di un dato su base mensile k = 12 {\displaystyle k=12} con t 1 {\displaystyle t_{1}} di un anno, trimestrale k = 4 {\displaystyle k=4} o semestrale k = 2 {\displaystyle k=2} e si desidera sapere il tasso di interesse annuale. La formula considera un regime di capitalizzazione composta, il reinvestimento degli interessi non appena sono stati corrisposti ad ogni scadenza. Tale formula può essere invertita, risolvendo rispetto a t 0 {\displaystyle t_{0}}, per calcolare il tasso dinteresse rispetto ad un orizzonte temporale più breve, e ottenendo un polinomio di Ruffini con termine noto i t 1 {\displaystyle i_{t_{1}}}, che però non è sempre risolvibile.

Se si desidera calcolare linteresse su un orizzonte temporale più breve, ossia t 1 < t 0 {\displaystyle t_{1}



                                     
  • chiusure anticipate dei prestiti, avendo già riscosso prevalentemente la quota di interessi rispetto al capitale prestato. Tasso d interesse Usura Anatocismo
  • un equazione che stima la relazione tra tasso di inflazione atteso, tasso d interesse nominale e tasso d interesse reale. Prende il nome da Irving Fisher
  • nei titoli di questi paesi e un minore tasso d interesse Viceversa, secondo la stessa logica, i tassi d interesse sul debito dei paesi emergenti sono più
  • Disambiguazione Se stai cercando altri significati, vedi Torquato Tasso disambigua Torquato Tasso Sorrento, 11 marzo 1544 Roma, 25 aprile 1595 è stato un
  • distinguono: Rischio di tasso d interesse - il rischio di perdita derivante da movimenti avversi del tasso di interesse Rischio di tasso di cambio - il rischio
  • rischioso in inglese riskfree rate normalmente inteso come il tasso d interesse di prestiti statali AAA a breve scadenza, in rapporto al rischio volatilità
  • detto capitale nozionale un tasso fisso predeterminato. A sua volta, la controparte si impegna a pagare un tasso d interesse variabile sullo stesso capitale
  • volatilità dell interesse di mercato negli anni Ottanta e Novanta. Il tasso di interesse in questi titoli è legato ad un tasso di interesse di mercato
  • Il rischio di tasso è la variazione del tasso di interesse di mercato o dell obbligazione stessa che genera un operazione di acquisto vendita sopra o
  • Il Tasso Interno di Rendimento o TIR o IRR, acronimo dall inglese Internal Rate of Return è il tasso della legge esponenziale che rende equa un attività

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