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ⓘ Rapporto tra musica e matematica




Rapporto tra musica e matematica
                                     

ⓘ Rapporto tra musica e matematica

Lo stretto rapporto che intercorre tra la musica e la matematica fu studiato sin dallantichità: un esempio classico è dato dalla Scuola Pitagorica, a cui si deve la scoperta secondo la quale i differenti toni di una scala sono legati ai rapporti fra numeri interi: una corda dimezzata suona lottava superiore, ridotta ai suoi 3/4 la quarta, ridotta ai suoi 2/3 la quinta, e così via.

Molta matematica applicata in campo musicale deriva infatti dallo studio della fisica acustica e dai problemi ad essa collegati. Se la stessa divisione ritmica del metro musicale è indicata con una frazione matematica, oggi sappiamo che alla base di qualunque rumore vi è un contributo di innumerevoli onde stazionarie, e che qualunque suono può essere scomposto in onde sinusoidali mediante lanalisi armonica espressa matematicamente con lalgoritmo della trasformata di Fourier.

In modo più astratto la musica fu posta in relazione alla matematica anche nel suo aspetto compositivo che richiede di ripartire i suoni tra le varie altezze, in diversi istanti temporali e tra le diverse voci degli esecutori. Questo tipo di analisi musicale ha avuto illustri cultori in tutti i secoli si pensi alle geometrie musicali dei canoni di Bach ed ha conosciuto nuove fortune anche in tempi vicini a noi.

A partire dal XVII secolo molti musicisti hanno dato prova di solide conoscenze matematiche ad esempio Giuseppe Tartini ne diede prova in Trattato di musica secondo la vera scienza dellarmonia nel 1754 e così Iannis Xenakis in Musica formalizzata nel 1971; gli stessi Pierre Boulez e Philip Glass sono laureati in matematica e da essa hanno tratto ispirazione per la loro arte.

Lo sviluppo della matematica musicale contemporanea dallanalisi alla composizione, al gesto nellinterpretazione musicale si deve principalmente al contributo del matematico e musicista Guerino Mazzola, docente negli Stati Uniti alla University of Minnesota.

La SMCM, Society for Mathematics and Computation in Music, organizza conferenze biennali sui risultati della ricerca tra matematica e musica.

                                     

1. Battimenti

Il fenomeno dei battimenti si ha quando vengono suonate due note di frequenza simile ma non identica. Si ha allora limpressione di sentire un suono di frequenza vicina a quelle dei primi due, la cui intensità oscilla però nel tempo tanto più lentamente quanto più le frequenze dei primi due suoni erano ravvicinate. Per questo motivo, i battimenti sono utilizzati per determinare la presenza di note calanti o crescenti quando si intona uno strumento.

La spiegazione di questo fenomeno risiede in parte nella natura fisica delle onde sonore, e in parte nel modo in cui il nostro orecchio percepisce i suoni. Se fissiamo la nostra attenzione sulla sovrapposizione di due toni puri tali cioè da poter essere rappresentati da onde sinusoidali e supponendoli, per semplicità, di ampiezza uguale, possiamo applicare le formule di prostaferesi al suono risultante:

s e n ω 1 t + s e n ω 2 t = 2 cos ⁡ ω 1 − ω 2 t ⋅ s e n ω 1 + ω 2 t = 2 cos ⁡ Ω t ⋅ s e n ω t {\displaystyle \mathrm {sen} \omega _{1}t+\mathrm {sen} \omega _{2}t=2\cos \left{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right\cdot \mathrm {sen} \left{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right=2\cos\Omega t\cdot \mathrm {sen} \omega t}

Ove si è posto

ω = ω 1 + ω 2 {\displaystyle \omega ={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}} Ω = ω 1 − ω 2 2. {\displaystyle \Omega ={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}.}

Se Ω ≪ ω {\displaystyle \Omega \ll \omega }, cioè se ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} e ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} sono vicine, si può esprimere la somma dei due suoni come un suono di frequenza intermedia, pari a ω {\displaystyle \omega }, la cui ampiezza sia modulata alla frequenza molto più bassa Ω {\displaystyle \Omega }.

                                     

2. Metodi di intonazione

Le scoperte di Pitagora mettevano in diretta relazione la nostra percezione dei suoni con grandezze misurabili in questo caso la lunghezza della corda messa in vibrazione. In altre parole, se consideriamo i modi di vibrare armonici di una corda tesa fissata agli estremi e detta n la frequenza fondamentale si hanno le seguenti corrispondenze dove fx indica la frequenza della nota x):

Lintervallo ad esempio tra Do 1 e Do 2 raddoppio della frequenza, viene detto intervallo di ottava. Si noti che la parola intervallo riferito alle altezze dei suoni, si riferisce al rapporto tra le frequenze, non alla loro differenza.

Da queste si possono dedurre le frequenze da assegnare a tutte le note della scala di Do: il metodo adottato che viene detto comunemente temperamento, anche se questo termine si riferirebbe solo ai metodi di intonazione che si discostano da quelli "naturali" ha importanti conseguenze per la costruzione degli strumenti musicali a intonazione fissa come il pianoforte e anche per i metodi di composizioni musicale stessi. Nella storia il problema del temperamento musicale è stato risolto con coerenza almeno nella musica occidentale solo nel XVII secolo da Andreas Werckmeister.

                                     

2.1. Metodi di intonazione Intonazione pitagorica

Il metodo pitagorico consiste nel calcolare inizialmente il rapporto di quinta, cioè la frequenza ad esempio della nota Sol 1 rispetto alla nota Do 1, come segue:

Sol 1: si riduce alla prima ottava Sol 2 dividendone la frequenza per due, ottenendo f S o l 1 = f S o l 2: 2 = 3: 2 n {\displaystyle f\mathrm {Sol} _{1}=f\mathrm {Sol} _{2}:2=3:2n}

Analogamente Re 1 è la quinta di Sol 1 Re 2 abbassata di unottava: fRe 1 = fRe 2:2 =3:2 fSol 1):2 = 9:8 n

Diviene ora possibile utilizzare i rapporti di quinta e ottava per ricavare le altre note della scala.

Proseguendo con questo metodo, in definitiva, la successione delle note nella scala pitagorica è definita dalla successione delle frequenze che segue indicate in rapporto alla fondamentale:

Si noti che in questo modo esistono due soli intervalli rapporti di frequenza tra suoni consecutivi: il tono, corrispondente a 9:8, e il semitono o limma pari a 256:243.

La scala pitagorica presenta però linconveniente che gli intervalli adottati non si conciliano con lesigenza di dividere lottava in parti proporzionali per evitare di dover modificare lintonazione delle singole note al cambiare della tonalità.



                                     

2.2. Metodi di intonazione Intonazione naturale

Uno degli inconvenienti della scala pitagorica è che i rapporti di terza e sesta, utilizzando numeratori e denominatori elevati, danno luogo ad accordi poco consonanti quando sono utilizzati assieme ad altre note della scala.

Utilizzando anche gli armonici superiori, e in particolare il quinto armonico - Mi3 -della fondamentale, è possibile ottenere rapporti più consonanti, come segue:

Mi 1 Viene ottenuto abbassando di due ottave il quinto armonico della fondamentale: fMi 1 = 1/2 1/2 5 n) = 5/4 n La 1 Si ottiene come quinta discendente di Mi 2 quinto armonico abbassato di unottava: fLa 1 = 2/3 1/2 5 n) = 5/3 n Si 1 È la quinta di Mi 1: fSi 1 = 3/2 5/4 n = 15/8 n

In definitiva:

Riconducendo le note a frazioni più semplici, si ottiene anche unottima consonanza della sesta La1 e migliora il rapporto con la settima maggiore Si1. Si perde però omogeneità negli intervalli: abbiamo ora rapporti di 9/8 tono maggiore), 10/9 tono minore e 16/15 semitono diatonico. I rapporti intervalli tra tono maggiore e tono minore, pari a 81/80 viene detto comma di Didimo; il rapporto tra tono minore e semitono diatonico, pari a 25/24, viene detto semitono cromatico. Si noti che in questo sistema, lintervallo Re1-La1 una quinta non vale più 3/2, ma 40/27 detto intervallo di quinta stretta. Il rapporto tra i due intervalli di quinta, che vale 80/81, è linverso del comma di Didimo ed è anche detto comma sintonico.

A fronte di una maggior consonanza tra le note la scala naturale introduce, quindi, un certo numero di irregolarità nella successione degli intervalli, che la rende ancora più inadatta di quella pitagorica per laccordatura degli strumenti ad intonazione fissa mentre è quella più vicina alle esigenze degli strumenti ad intonazione variabile.

                                     

2.3. Metodi di intonazione Ciclo delle quinte

Il problema dellintonazione, come accennato più sopra, deriva dalla necessità di poter accordare strumenti a corda come il pianoforte o gli archi in modo da poter suonare in diverse tonalità. Nessuno dei due metodi visti finora permette di risolvere con esattezza questo problema, come si può vedere dal seguente procedimento.

Un modo per accordare uno strumento ad accordatura fissa consiste nel preservare gli intervalli di quinta a partire da una corda base. In questo modo si accorda percorrendo il cosiddetto ciclo delle quinte: Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯, La♯, Fa o Mi♯, Do, che dopo sette ottave ritorna alla nota fondamentale. È facile vedere che nessuno dei metodi fin qui esaminati può fare sì che il Do8 coincida con quello ottenuto dal ciclo delle quinte: infatti, sia per il temperamento naturale, sia per quello pitagorico, le frequenze delle ottave sono multiple di potenze di due, mentre nel ciclo delle quinte le frequenze sono multiple di potenze di 3/2: nessuna potenza di due è anche una potenza di 3/2. Questo ragionamento vale anche per gli altri rapporti considerati.

Si vede quindi che un accordatore che volesse accordare uno strumento cercando di preservare tutti gli intervalli giusti si troverebbe di fronte ad un problema insolubile e dovrebbe comunque cercare un compromesso: è questo quanto offre il temperamento equabile.

                                     

2.4. Metodi di intonazione Temperamento equabile

Trovare una soluzione stabile al problema del temperamento richiese diversi secoli. Oltre ai due temperamenti illustrati, ne vennero suggeriti diversi altri: ad esempio il temperamento mesotonico detto temperamento del tono medio, che conserva gli intervalli di terza e fu usato attorno al Rinascimento.

Un metodo alternativo a quelli finora considerati che cercano di preservare esattamente un certo numero di intervalli razionali, oltre a quello dottava è quello di imporre la divisione dellottava in un certo numero dintervalli costanti. Abbiamo visto che i temperamenti esaminati richiedono almeno due intervalli per la composizione di unottava. La soluzione adottata modernamente, detta sistema temperato equabile stabilisce che ogni ottava sia divisa in 12 intervalli, detti semitoni, e distribuisce le note gradi della scala diatonica lungo una curva logaritmica: il rapporto di ottava è fissato pari a due come di consueto. Luso di una scala logaritmica deriva dal fatto fisiologico che il nostro orecchio percepisce come uguali intervalli tra suoni in cui è costante il rapporto tra le frequenze. Questo fatto individua una distribuzione logaritmica dei gradi rispetto alle frequenze per tutti i temperamenti fin qui esaminati: ma mentre il temperamento equabile adotta la stessa distribuzione omogenea su un intervallo di ottava, gli altri cercano di combinare sequenze di intervalli o di mantenere lo stesso intervallo senza rispettare lintervallo di ottava.

Da quanto si è detto, è facile vedere che un intervallo di un semitono ottenuto inserendo 12 medi geometrici tra 1 e 2 è pari a 12 {\displaystyle {\sqrt{2}}^{12}}, cioè esattamente doppia rispetto alla nota di partenza.

Questo sistema equabile stabilisce rapporti di frequenza identici a partire da qualsiasi nota individuata dalla tastiera del pianoforte o del clavicembalo. In questo modo, si può passare da una tonalità allaltra cioè effettuare modulazioni senza problemi di accordatura. Le modulazioni sono appunto una caratteristica tipica della musica di Johann Sebastian Bach, che supportò lintroduzione del temperamento equabile con la raccolta Il clavicembalo ben temperato ": quarantotto preludi e fughe due per ogni tonalità maggiore e minore da suonarsi, appunto, su un clavicembalo accordato secondo un "buon" temperamento. In realtà il termine "temperato", allepoca di J. S. Bach, non significava necessariamente "equabilmente temperato", ma semplicemente "con alcuni intervalli di quinta modificati temperati". Tra i vari temperamenti in uso a quel tempo, quello equabile era ancora lontano dallaffermarsi, anche per la difficoltà intrinseca di rendere identici tutti e dodici gli intervalli di quinta; con buona probabilità Bach usò il temperamento Werckmeister III.

Il metodo di costruzione del temperamento equabile fa sì che le frequenze di tutte le note possano essere espresse come:

f = f 0 2 c / 1200 {\displaystyle f=f_{0}2^{c/1200}}

dove f 0 {\displaystyle f_{0}} è la frequenza fondamentale tipicamente, La 4 = 440 Hz e c esprime lo scostamento da essa, espresso in cent unottava contiene 1200 cent.

Il temperamento equabile, dunque, consente di avere le ottave intonate e composte tramite la ripetizione di un unico intervallo, ma ha linconveniente di non utilizzare nessun altro intervallo giusto. Daltra parte si può vedere come, considerando tutte le possibili divisioni dellottava fino a 24, si può vedere che esistono solo tre possibili suddivisioni che permettono di comporre la triade maggiore mantenendo un errore complessivo inferiore all1%: queste sono quella in 12 corrispondente al temperamento equabile quella in 24 corrispondente a una suddivisione in quarti di tono ancora nel temperamento equabile e quella in 19, che corrisponde ad una suddivisione in terzi di tono che ha suscitato qualche interesse in passato.

A questo proposito, tramite lo sviluppo in frazione continua i cui convergenti forniscono la successione delle migliori approssimazioni tramite rapporti di numeri interi il più piccoli possibile del numero log 2 3 che è la "soluzione" del problema di ottenere un numero intero di ottave tramite successioni di quinte, si vede che il numero di suddivisioni dellottava che permette di avvicinarsi di più allideale del temperamento cioè lequidistanza tra i gradi, senza scostarsi troppo dalla consonanza cioè usando valori che siano quanto più vicini possibili a rapporti di numeri piccoli è la suddivisione in 5 gradi, oppure in 12 o in 41 o in 53, suddivisione teorizzata anche in Cina oltre che nei primi del Novecento in Europa. Un ragionamento analogo su può fare sviluppando il numero log 2 5, che appare quando si usino le terze invece delle quinte per lintonazione.



                                     

2.5. Metodi di intonazione Confronto tra i metodi di intonazione

La tabella illustra le altezze espresse in cent dei gradi della scala maggiore secondo i vari metodi di intonazione.

Come si vede, in tutti e tre i metodi lintervallo di ottava è identico 1200 cents e sono praticamente uguali anche gli intervalli di quarta 498-500 cents e di quinta 700-702 cents. Il discorso è ben diverso per gli intervalli di terza maggiore e di sesta maggiore. Lintervallo di terza maggiore naturale vale 386 cents, mentre quello pitagorico è assai crescente: 408 cents; un discorso analogo vale per la sesta. Si può dunque ben capire come mai un intervallo perfettamente consonante secondo la nostra sensibilità come quello di terza maggiore venisse considerato intollerabilmente dissonante agli inizi della polifonia, quando si usava il temperamento pitagorico: la "colpa" era insita nella costruzione pitagorica della scala.

La tabella mostra anche che le approssimazioni introdotte con il temperamento equabile sono più modeste di quelle pitagoriche lintervallo di terza maggiore vale 400 cents invece dei 386 cents naturali e tali da essere ormai ampiamente tollerate. Ciò spiega come mai al nostro orecchio intervalli di terza suonino consonanti anche quando suonati al pianoforte che è intonato secondo il temperamento equabile.

Nella seguente tabella viene riportato anche il temperamento mesotonico o medio o del tono di mezzo, raffrontato con gli altri le relative proporzioni pitagoriche: