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ⓘ Teorema dell'elettore mediano




                                     

ⓘ Teorema dellelettore mediano

Il teorema dellelettore mediano, afferma che, in una elezione a maggioranza, se la preferenza degli elettori può essere rappresentata come un punto lungo una sola dimensione, se tutti gli elettori votano in modo deterministico per la politica più vicina a quella da loro preferita se ci sono solo due politiche fra le quali scegliere, sarà scelta la politica preferita dallelettore mediano. Questa strategia è un equilibrio di Nash.

Questo teorema si deve a Duncan Black che lo propose per la prima volta in un articolo del 1948 On the Rationale of Group Decision-making e poi di nuovo nel suo più noto volume del 1958 The Theory of Committees and Elections. La sua fama la deve però al citatissimo testo di Anthony Downs: An Economic Theory of Democracy 1957.

                                     

1. Un semplice esempio

Tre amici, A, B e C, devono decidere in quale ristorante pranzare assieme: A vorrebbe spendere € 5, B € 10, mentre C € 20.

Possiamo ragionevolmente ipotizzare che essi abbiano rispettivamente un insieme delle preferenze del tipo di quello in Tabella 1.

Se ai tre amici venisse chiesto di esprimere un voto fra il ristorante che costa € 5, e quello che costa € 10, allora A voterebbe per il primo, mentre B e C per il secondo. In questo caso la proposta da € 10 otterrà la maggioranza. Se riproponessimo la stessa domanda ai tre amici, questa volta chiedendo loro quale ristorante preferiscono fra quello che costa € 5 e quello che ne costa € 20, allora A e B voteranno per il primo, essendo € 10 più vicino a € 5 che a € 20, mentre solamente C voterà per il secondo. Se, infine, chiedessimo ai tre amici quale ristorante preferiscano fra quello che costa € 10 e quello che costa € 20, allora A e B voteranno per il primo, mentre C sarà nuovamente il solo a votare per il secondo.

Come risulta dalla Tabella 2 la preferenza di B per una spesa al ristorante di € 10 sconfiggerà allora ogni altra proposta.

In generale, posto che tutte gli ordinamenti delle preferenze siano unimodali e limitandosi al caso unidimensionale, se cè un elettore mediano, le sue politiche preferite batteranno ogni altra alternativa in una competizione a coppie: il punto ideale dellelettore mediano è, cioè, sempre un vincitore à la Condorcet.

                                     

2. Elettore mediano e voto a maggioranza

In presenza di un bene pubblico è efficiente dal punto di vista sociale che questo sia fornito in quantità uguale a tutti i cittadini. Per decidere quale sia questa quantità ottima è necessaria una regola di voto. Se immaginiamo che a decidere sia la maggioranza dei votanti, allora avremo che lelettore mediano sarà decisivo pivotale dal momento che la quantità da questo preferita, e solo quella, sarà in grado di ricevere la maggioranza dei voti.

                                     

2.1. Elettore mediano e voto a maggioranza Elettore mediano e valutazione Costi-Benefici

Per quanto detto sopra, la decisione non riceverà un consenso unanime ed anzi rifletterà un eccesso di spesa se osservata dal punto di vista di un elettore alla sinistra di quello mediano, ovvero una spesa insufficiente per tutti quelli alla destra del mediano.

Ciò è da imputarsi a due caratteristiche del voto a maggioranza:

  • non incamera ed elabora informazioni riguardo al valore dei benefici e dei costi personali dei singoli.
  • si basa su valutazioni personali di benessere, che non tengono conto dei costi e benefici altrui;

Possono dunque esistere situazioni nelle quali una mozione approvata dalla maggioranza porti benefici a coloro che hanno votato a favore minori dei costi spettanti a coloro che erano contrari, ovvero la situazione opposta.

Differentemente dal voto a maggioranza, una valutazione della spesa pubblica basata su un criterio Costi-Benefici necessita di informazione riguardo allentità di guadagni e perdite spettanti rispettivamente ai membri della maggioranza e della minoranza.



                                     

2.2. Elettore mediano e voto a maggioranza Elettore mediano ed efficienza paretiana

Considerando quanto appena visto possiamo dunque affermare che il voto a maggioranza porta a risultati non efficienti nel senso di Pareto con una certa probabilità. Non cè infatti ragione di aspettarsi che le preferenze dellelettore mediano siano efficienti anche per la società nel suo complesso. Se lelettore mediano fosse, però, anche quello medio, allora la sua scelta sarebbe anche socialmente efficiente. Dunque la possibilità che lelettore mediano scelga una quantità socialmente efficiente del bene pubblico dipende dalla distribuzione dei benefici marginali nella popolazione, che è il risultato di differenti preferenze o differenti redditi percepiti.

Mentre, solitamente, la distribuzione delle preferenze degli individui si distribuisce approssimando in distribuzione una Normale di media pari alla scelta preferita dallelettore mediano μ = M e {\displaystyle \mu =Me}. In questo caso, scelte collettive prese a maggioranza portano ad un risultato ottimo nel senso di Pareto. La distribuzione dei redditi in una popolazione tende invece, nella maggioranza dei casi, ad avere una distribuzione asimmetrica, con M e < μ {\displaystyle Me M e > μ {\displaystyle Me> \mu }) può portare allo stesso modo ad un eccesso di spesa pubblica: si pensi al caso in cui i membri di una popolazione con reddito relativamente basso traggono maggiore benefico dal consumo di beni pubblici rispetto ai contribuenti con un reddito relativamente più elevato Hillman, 2009:419-420.

                                     

2.3. Elettore mediano e voto a maggioranza Lidentità dellelettore mediano

Spesso si parla di "dittatura dellelettore mediano" come risultato del voto a maggioranza, ma questa "dittatura" è del tutto innocua se confrontata con quella comunemente intesa dal momento che spesso lelettore mediano non sa di esserlo o per lo meno non ne è sicuro.

Questo accade principalmente per una duplice ragione. Quando le curve di utilità dei benefici marginali degli elettori si intersecano – e poiché le valutazioni degli elettori sono fra loro indipendenti non cè ragione di aspettarsi che ciò non accada – allora lidentità dellelettore mediano dipende dal livello dei prezzi del bene pubblico. Inoltre, influisce il sistema di ripartizione dei costi dei beni pubblici. Un elettore che risulta mediano se i costi sono equamente ripartiti, può non esserlo più nel momento in cui i costi sono ripartiti ad esempio secondo uno schema progressivo.

                                     

2.4. Elettore mediano e voto a maggioranza Instabilità del voto maggioritario

Uno dei problemi del voto a maggioranza è che può fallire nel realizzare una decisione collettiva stabile a causa di cicli indefiniti fra le alternative. Questa prospettiva, se è certa in presenza di giochi a somma zero puramente redistributivi, può non realizzarsi, invece, nel caso di problemi allocativi: in questultimo caso, infatti, sono valide le conclusioni del teorema dellelettore mediano dimostrato da Duncan Black. Black 1948; 1958 dimostrò che solo quando le preferenze di tutti gli elettori, riguardo ad alternative ordinabili secondo un ordine progressivo crescente, sono unimodali single-peaked esiste unalternativa che risulterà certamente vincitrice à la Condorcet. Quando anche solo uno dei contribuenti ha preferenze plurimodali potrà sorgere un ciclo per cui ogni alternativa potrà sconfiggerne unaltra: potrà, cioè, non esistere un vincitore/vincitrice à la Condorcet Paradosso di Condorcet.

Se questo può spesso non rivelarsi un problema nel caso di decisioni riguardanti la spesa da destinare ad un bene pubblico, lo è invece quasi sicuramente nel caso di scelte riguardanti progetti pubblici alternativi, quando cioè i termini del quesito non sono strettamente ordinabili in senso crescente o decrescente di valore. Se infatti nel primo caso è raro, anche se non impossibile o illogico, trovare persone che preferiscono € 15 di un bene a € 5, ma € 5 a € 10 del medesimo bene, è invece del tutto ordinario pensare di poter preferire che si spenda di più in nuovi parchi naturali che in istruzione pubblica e preferire daltronde che si spenda di più in istruzione pubblica che in difesa nazionale.



                                     

2.5. Elettore mediano e voto a maggioranza Elettore mediano su più dimensioni

Il teorema dellelettore mediano afferma che la regola di maggioranza conduce con certezza ad un equilibrio di Nash. Ciò è vero solo nel caso in cui ci limitiamo a questioni unidimensionali se tutti gli elettori hanno preferenze ad una punta. Se tutte le questioni fossero unidimensionali, preferenze a più punte potrebbero essere considerate piuttosto improbabili, tanto da poter considerare i cicli uneventualità di scarsa rilevanza. In un mondo multidimensionale tuttavia, preferenze a più punte sono piuttosto probabili.

Se immaginiamo che i beni pubblici da fornire siano due, possiamo costruire uno spazio a tre dimensioni: quantità del bene pubblico X, quantità del bene pubblico Y e livello di utilità dei contribuenti. Il livello di benessere degli elettori sarà rappresentato da un grafico simile ad un dosso la cui cima corrisponde al paniere X i, Y j {\displaystyle X_{i},Y_{j}} preferito. Lutilità di tale elettore decrescerà al crescere della distanza dal punto preferito e potremo così definire delle curve di indifferenza come il luogo dei punti di uguale utilità per lelettore. Queste curve, se proiettate sul piano XY, possono essere rappresentate da circonferenze concentriche di centro X i, Y j {\displaystyle X_{i},Y_{j}} v. Illustrazione 1.

Prendiamo in considerazione un comitato di tre membri i cui punti ideali giacciono rispettivamente sui tre vertici A, B, C di un triangolo, allora i segmenti A B ¯, A C ¯, B C ¯ {\displaystyle {\overline {AB}},{\overline {AC}},{\overline {BC}}} sono le tre possibili curve dei contratti, ovvero i tre possibili insiemi Pareto-efficienti delle coalizioni di maggioranza che possono venirsi a creare. Poiché non cè alcun punto in comune ai tre segmenti, non cè alcun punto che sia Pareto-efficiente per ogni possibile coalizione di maggioranza. Ogni punto appartenente ad una curva dei contratti può sconfiggere un punto che non vi appartiene dal momento che vi sarà una qualche maggioranza che preferisce il primo al secondo. Questo stretto legame esistente fra punti Pareto-efficienti e punti di equilibrio con la regola di maggioranza porta allora alla conclusione che, in un caso come questo, non esiste un punto di equilibrio con la regola di maggioranza.

In altri casi, come ad esempio se i tre punti si trovano lungo uno stesso segmento, la regola di maggioranza torna a produrre un risultato stabile, come previsto dal teorema dellelettore mediano teorema di Plott.

                                     

3. Elettore mediano e competizione politica

La maggior parte delle decisioni pubbliche viene presa in regime di democrazia rappresentativa, è particolarmente interessante lo studio delle caratteristiche dei risultati in termini di politiche pubbliche della competizione politica che vi sta alla base. In particolare, gli studi in merito hanno tentato di stabilire se la concorrenza politica che ne deriva sia sufficiente per garantire ai contribuenti un mezzo soddisfacente per prendere decisioni collettive riguardo imposte e fornitura di beni pubblici.

                                     

3.1. Elettore mediano e competizione politica Competizione politica su una dimensione: due candidati

Consideriamo lo scenario di competizione politica più semplice: due candidati si fronteggiano per ottenere una carica pubblica, prendendo posizione riguardo al livello di spesa per un singolo bene pubblico. Ipotizziamo che agli elettori sia già noto il livello di imposta che devono pagare per finanziare il bene pubblico e che dunque debbano scegliere basandosi esclusivamente sul livello di spesa che preferiscono. Ipotizziamo, inoltre, che le preferenze di tutti i contribuenti siano unimodali. Possiamo tracciare allora un grafico" bene pubblico–utilità” dove è riportata la curva delle preferenze dellelettore mediano Illustrazione 2.

Se ipotizziamo che:

  • i contribuenti votino per il candidato che avanza la proposta più vicina alla quantità da essi preferita;
  • i due candidati stabiliscano la loro posizione politica con il solo obiettivo di ottenere il seggio attraverso la vittoria elettorale.
  • tutti i contribuenti votino;
  • la distribuzione dei contribuenti lungo lasse delle ascisse sia uniforme;

Allora, una situazione iniziale nella quale i due candidati scelgono le posizioni A e B non si caratterizza come equilibrio di Nash: una situazione nella quale nessun candidato desidererebbe modificare la propria posizione data la posizione politica annunciata dallavversario. In tale situazione, infatti, i due candidati otterranno certamente i voti dei contribuenti i cui picchi di preferenze giacciono, rispettivamente, in corrispondenza delle quantità. I candidati avranno, allora, convenienza a spostarsi verso M fino al raggiungimento di una posizione di equilibrio in A = B = M. Questo particolare equilibrio di Nash è noto col nome di "equilibrio di Hotelling". Dal momento che per essere eletti i candidati hanno bisogno della metà più uno dei consensi, allora lelettore mediano, in equilibrio, risulterà decisivo. Lunico equilibrio di Nash per due candidati politici che si fronteggiano rispetto ad un unico tema è, infatti, rappresentato dalla situazione nella quale entrambi annuncino la politica preferita dallelettore mediano.

La perfetta duplicazione delle posizioni dei due candidati, appena descritta, non è solitamente osservabile nella realtà:

  • sebbene abbiamo ipotizzato che i candidati si presentino con il solo fine di vincere le elezioni, è possibile che essi abbiano anche come obiettivo il perseguimento di unidea politica: sotto tale ipotesi non è più illogico aspettarsi che, anche se la posizione dellelettore mediano fosse nota, i due candidati non la scelgano se differisce dai loro" ideali”.
  • una duplicazione perfetta non darebbe agli elettori modo di distinguere tra i due candidati, non fornendo alcun incentivo" razionale” al voto;
  • la posizione preferita dallelettore mediano M non è conosciuta in modo certo dai due candidati. Essi potranno stimarla ed ipotizzarla ad esempio attraverso sondaggi dopinione, ma non potranno mai conoscerla con certezza. A seconda dellipotesi che i candidati avanzeranno circa lidentità dellelettore mediano, essi sceglieranno una posizione differente. Il candidato che vincerà le elezioni sarà, in questo senso, quello che meglio sarà riuscito a stimare tale posizione.

Un modello di questo tipo fu proposto per la prima volta da Harold Hotelling in un articolo del 1929, che può essere considerato un chiaro antecedente dei lavori sia di Downs 1957 che di Black 1948; 1958.

Nel modello di Hotelling le assunzioni su cui si basa la considerazione secondo cui i candidati convergono al centro sono piuttosto irrealistiche: 1. una sola dimensione su cui confrontarsi; 2. unimodalità e simmetricità della distribuzione di frequenza; 3. totale partecipazione dei cittadini al voto; 4. presenza di soli due candidati alla carica elettiva. Il modello risulta quindi perfettibile e molti studi successivi si sono concentrati in questo senso.

Questa ultima considerazione è inoltre molto interessante perché confuta la tesi di molti, secondo cui il teorema dellelettore mediano sarebbe falsificato dal fatto che non se ne trovano riscontri empirici. Il teorema resta invece vero fino a prova contraria: il problema è che le situazione prese in esame non rispettano almeno una delle ipotesi che vi stanno alla base. La sua utilità sta proprio nella sua semplicità: esso è un utile modello di riferimento e confronto, come il modello della concorrenza perfetta lo è per la teoria microeconomica del settore privato. Come, infatti, il modello della concorrenza perfetta viene impiegato come base di partenza e di raffronto nello studio delle interazioni economiche private, nonostante la sua scarsa corrispondenza con la realtà, così il modello dellelettore mediano risulta utile come termine di paragone e confrontare con le più complesse situazioni riscontrabili empiricamente.