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ⓘ Disuguaglianza di Popoviciu




                                     

ⓘ Disuguaglianza di Popoviciu

In analisi matematica, la disuguaglianza di Popoviciu è una disuguaglianza riguardante le funzioni convesse. È simile alla disuguaglianza di Jensen e fu pubblicata nel 1965 dal matematico rumeno Tiberiu Popoviciu.

                                     

1. Enunciato

Sia ƒ una funzione da un intervallo I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } in R {\displaystyle \mathbb {R} }. Se ƒ è convessa, allora per tre punti qualsiasi x, y, z {\displaystyle x,y,z} di I {\displaystyle I},

f x + f y + f z 3 + f x + y + z 3 ≥ 2 3.}

Viceversa, se ƒ è continua, allora è convessa se e solo se la disuguaglianza precedente vale per ogni x, y, z in I {\displaystyle I}. Se ƒ è strettamente convessa, la disuguaglianza è stretta ad eccezione del caso x = y = z.

Vi sono delle generalizzazioni pesate di questa disuguaglianza, oppure con un qualsiasi numero finito di punti anziché 3.