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ⓘ Tabella della verità




Tabella della verità
                                     

ⓘ Tabella della verità

Le tabelle della verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa. La tabella di verità quindi si applica a qualsiasi operatore logico vero-funzionale, vale a dire in cui le condizioni di verità o falsità di qualunque enunciato che si ottiene applicando quelloperatore è determinato interamente ed esclusivamente da quelle degli enunciati più semplici a cui si applica.

                                     

1. Descrizione

Utilizzate come principale rappresentazione di una funzione booleana, le espressioni possono essere costrutti formati da più espressioni, in cui allinizio compare una premessa, ed alla fine una conclusione. La tabella di verità elenca sulle caselle delle righe corrispondenti alle colonne delle variabili della funzione tutte le possibili combinazioni di valori che possono assumere le variabili booleane ed il risultato della funzione nelle caselle delle righe corrispondenti allultima colonna a destra, per tale combinazione di valori.

Le tabelle di verità furono introdotte da Gottlob Frege, Charles Peirce, Bertrand Russell e altri verso il 1880, ed assunsero la forma attuale nel 1922, con i lavori indipendenti di Emil Post e Ludwig Wittgenstein. Nel suo Tractatus Logico-Philosophicus Wittgenstein le usa per inquadrare le funzioni della verità allinterno di una serie. La vasta influenza esercitata da questa opera ha portato ad una larga diffusione delle tabelle di verità.

Le tabelle di verità sono usate per calcolare il valore di espressioni logico-funzionali. Le espressioni logico-funzionali possono essere sia atomiche ad esempio, variabili proposizionali o semplici segnaposto oppure funzioni proposizionali costituite da formule atomiche e operatori logici come AND, OR e NOT. Le intestazioni di colonna delle tabelle della verità mostrano i le funzioni e/o le variabili proposizionali, e ii le espressioni di verità risultanti dalle combinazioni di quelle funzioni e variabili proposizionali. Nelle righe sono riportati tutti i possibili valori calcolati di V = vero o F = falso assegnati a i e ii. In altre parole: ogni riga è una diversa interpretazione di i e ii.

Le tabelle di verità applicate alla logica classica cioè a quella binaria sono limitate alla logica booleana, dove sono ammessi soltanto due valori, vero indicato anche con "1" e falso indicato con "0".

Ad esempio la seguente tabella rappresenta la funzione booleana V = XY + XZ + YZ = X AND Y OR X AND Z OR Y AND Z esprimibile anche come v = x ∧ y ∨ x ∧ z ∨ y ∧ z {\displaystyle v=x\wedge y\vee x\wedge z\vee y\wedge z}

                                     

2.1. Operatori logici Operatore logico negazione NOT

La relazione di negazione NOT è un connettivo logico, attraverso il quale, a partire da una proposizione A si forma una nuova proposizione chiamata negazione di A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} la quale è vera quando A è falsa, ed è falsa quando A è vera. La relazione è così definita:

                                     

2.2. Operatori logici Operatore logico congiunzione AND

Prendiamo due variabili proposizionali, A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}, e loperatore logico AND ∧, ottenendo la congiunzione logica "A e B" o, più correttamente, A ∧ B {\displaystyle A\wedge B}. In parole povere, se sia A che B sono vere, allora la congiunzione A ∧ B {\displaystyle A\wedge B} è vera; ogni diversa assegnazione di valori di verità rende A ∧ B {\displaystyle A\wedge B} falsa. La relazione è così definita:

                                     

2.3. Operatori logici Operatore logico disgiunzione OR

Prendiamo due variabili proposizionali, A e B, e loperatore logico OR V, ottenendo la congiunzione logica "A OR B", se sia A che B sono vere, allora la congiunzione A V B è vera; se sono false A V B è falsa; se A è falsa e B è vera allora A V B è vera e viceversa se B è vera ed A è falsa allora A V B è vera. La relazione è così definita:

                                     

2.4. Operatori logici Operatore NAND congiunzione negata

Espressioni composte possono essere costruite usando le parentesi per indicare la precedenza negli operatori.

La negazione della congiunzione A ∧ B ¯ = A ∧ ¯ B {\displaystyle {\overline {A\wedge B}}=A{\overline {\wedge }}B}, e la disgiunzione della negazione ¬ A {\displaystyle A} v ¬ B {\displaystyle B} risultano nella seguente:

                                     

2.5. Operatori logici Operatore NOR

Le tabelle di verità possono essere usate per verificare equivalenze logiche.

La negazione della disgiunzione ¬ A {\displaystyle A} ∨ B {\displaystyle B} ≡ A {\displaystyle A} ∨ B {\displaystyle B}, e lunione delle congiunzioni ¬ A {\displaystyle A} ∧ ¬ B {\displaystyle B} risultano così di seguito equivalenti:

Analizzando e confrontando le due tabelle di verità, dal momento che tutti i valori di stato possibili per A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} portano allo stesso stato per pari condizioni di A {\displaystyle A} ∧ B {\displaystyle B} e ¬ A {\displaystyle A} ∨ ¬ B {\displaystyle B} ; e per A {\displaystyle A} ∨ B {\displaystyle B} e ¬ A {\displaystyle A} ∧ ¬ B {\displaystyle B}, risultando uguali tra loro e alternativamente utilizzabili. Questa equivalenza è conosciuta come legge di De Morgan.

                                     

3. Tabelle di verità per gli operatori logici più comuni

Ecco le tabelle di verità per gli operatori logici più comuni:

Legenda:

V = vero, F = falso ∧ = AND congiunzione logica ∨ = OR disgiunzione logica ∧ = XOR OR esclusivo ∨ = XNOR NOR esclusivo → = "se-allora" implicazione logica ← = "allora-se" controimplicazione logica: se e soltanto se è logicamente equivalente a < ∨ >: XNOR NOR esclusivo.

I diagrammi di Johnston, simili ai diagrammi di Eulero-Venn, forniscono un metodo di visualizzazione della tabella della verità.

                                     

4. Tabelle di verità condensate per operatori binari

Una forma condensata della tabella di verità è usata per gli operatori binari; in questa, i titoli delle righe e colonne indicano gli operandi, e gli elementi della matrice il risultato. Lalgebra di Boole, ad esempio, usa questa notazione condensata della tabella della verità:

Questa notazione è utile specialmente se gli operatori sono commutativi, benché si possano specificare le righe come primo operando le colonne come secondo. La notazione abbreviata è particolarmente utile quando si trattano valori logici multipli, dato che rallenta il vertiginoso aumento di righe che sarebbe altrimenti necessario usare. Fornisce anche una forma caratteristica e prontamente riconoscibile della distribuzione dei valori nella tabella, permettendo al lettore una più rapida comprensione.

                                     

5. Inferenza logica spaziale

Wittgenstein 1921 e Pólya 1940 coi loro lavori posero le basi della nozione di spazio logico e di ipercubo. Ogni proposizione atomica con la sua negazione forma un asse di un sistema di coordinate cartesiane, in un punto del quale assume un valore booleano +1 se vera; -1 se falsa, essendo lo zero già usato per lorigine degli assi a seconda del suo valore di verità. Per ogni punto di un ipercubo, può essere identificato un sub-spazio logico fra questo punto e lorigine degli assi. Su ogni spazio logico possono operare gli operatori booleani di unione, intersezione e negazione.

Ad esempio per due proposizioni p e q di cui si considerano anche le rispettive negazioni avremo 2 assi divisi in quattro quadranti in grado di rappresentare tutte le possibili combinazioni dei valori di verità di p e q, ovvero la loro tavola di verità con qualsiasi operatore booleano. Se consideriamo loperatore di congiunzione, avremo un punto indicante il valore di verità delloperatore soltanto nel primo quadrante alle coordinate p = +1; q = +1.

Per n {\displaystyle n} proposizioni connesse da molteplici operatori, si possono in questo modo stabilire inferenze logiche "per via grafica", notando le relazioni spaziali.



                                     
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