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ⓘ Trasformata di Cayley




                                     

ⓘ Trasformata di Cayley

In matematica, con trasformata di Cayley si identificano oggetti diversi.

La trasformata di Cayley è stata inizialmente introdotta da Arthur Cayley come una mappa tra lo spazio delle matrici antisimmetriche e quello delle matrici ortogonali speciali. In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme tale per cui limmagine del semipiano complesso superiore è il disco unitario, mentre nella teoria degli spazi di Hilbert denota una trasformazione tra operatori lineari.

                                     

1. Mappa tra matrici

Si consideri lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n × n {\displaystyle n\times n} su R {\displaystyle \mathbb {R} }, e sia A {\displaystyle A} una matrice antisimmetrica, cioè tale che A T = − A {\displaystyle A^{T}=-A}. La matrice I + A {\displaystyle I+A}, dove I {\displaystyle I} denota la funzione identità, è in tal caso invertibile.

Si definisce trasformata di Cayley la matrice ortogonale speciale Q {\displaystyle Q} definita nel modo seguente:

Q = I − A I + A − 1 {\displaystyle Q=I-AI+A^{-1}}

Dal momento che la moltiplicazione fra matrici nella definizione è commutativa, la trasformata di Cayley può essere definita in modo equivalente come:

Q = I + A − 1 I − A {\displaystyle Q=I+A^{-1}I-A}

Viceversa, data una matrice ortogonale che non possiede -1 come autovalore, allora la matrice:

A = I − Q I + Q − 1 {\displaystyle A=I-QI+Q^{-1}}

è antisimmetrica.

                                     

2. Mappa conforme

In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme dal piano complesso in sé data da:

W: z ↦ z − i z + i {\displaystyle \operatorname {W} \colon z\mapsto {\frac {z-\mathbf {i} }{z+\mathbf {i} }}}

Si tratta di una trasformazione lineare fratta, e può essere estesa ad un automorfismo definito sulla sfera di Riemann.

Tale funzione gode delle seguenti proprietà:

  • W {\displaystyle \operatorname {W} } mappa in modo iniettivo la retta reale nel cerchio unitario.
  • W {\displaystyle \operatorname {W} } mappa il semipiano complesso superiore nel disco unitario.
  • W {\displaystyle \operatorname {W} } mappa 0 in -1, -1 in i {\displaystyle i}, il punto allinfinito in 1, − i {\displaystyle -i} nel punto allinfinito.
  • W {\displaystyle \operatorname {W} } mappa in modo biunivoco il semiasse complesso i "0, ∞) {\displaystyle i"0,\infty)} nellintervallo "− 1, 1) {\displaystyle "-1.1)}.
                                     

3. Mappa tra spazi di Hilbert

Generalizzando i concetti di mappa matriciale e mappa sul piano complesso, si definisce su uno spazio di Hilbert la trasformata di Cayley per operatori lineari:

U = A − I A + I − 1 A = I + U I − U − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}U&{}=A-\mathbf {i} IA+\mathbf {i} I^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} I+UI-U^{-1}\end{aligned}}}

Tale funzione permette, in particolare, di definire la diagonalizzazione di operatori autoaggiunti non limitati attraverso una misura a valori di proiettore.