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ⓘ Meccanismo Vickrey-Clarke-Groves




                                     

ⓘ Meccanismo Vickrey-Clarke-Groves

Il meccanismo Vickrey-Clarke-Groves è un tipo di asta dove i partecipanti hanno interesse a rivelare il vero valore che attribuiscono ai beni. È una generalizzazione dellasta di Vickrey per il caso di più beni.

                                     

1. Definizione formale

Per qualsiasi insieme di beni allasta M = { b 1, …, b m } {\displaystyle M=\{b_{1},\ldots,b_{m}\}} e un insieme di offerenti N = { o 1, …, o n } {\displaystyle N=\{o_{1},\ldots,o_{n}\}}, sia U N M {\displaystyle U_{N}^{M}} lutilità sociale dellasta VCG per una data combinazione di offerte. Un offerente o i {\displaystyle o_{i}} che ottiene il bene b j {\displaystyle b_{j}} paga U N ∖ { o i } M − U N ∖ { o i } M ∖ { b j } {\displaystyle U_{N\setminus \{o_{i}\}}^{M}-U_{N\setminus \{o_{i}\}}^{M\setminus \{b_{j}\}}}, cioè il costo sociale del suo successo sopportato dagli altri offerenti.

Infatti, linsieme degli offerenti eccetto { o i } {\displaystyle \{o_{i}\}} è N ∖ { o i } {\displaystyle N\setminus \{o_{i}\}}. Quando il bene b j {\displaystyle b_{j}} è allasta, ottengono lutilità sociale U N ∖ { o i } M. {\displaystyle U_{N\setminus \{o_{i}\}}^{M}.} Lattribuzione del bene a o i {\displaystyle o_{i}} riduce linsieme dei beni allasta a M ∖ { b j } {\displaystyle M\setminus \{b_{j}\}} e lutilità sociale diventa U N ∖ { o i } M ∖ { b j } {\displaystyle U_{N\setminus \{o_{i}\}}^{M\setminus \{b_{j}\}}}. La differenza tra questi due livelli di utilità sociale è il pagamento per il bene b j {\displaystyle b_{j}} ottenuto dal vincitore o i {\displaystyle o_{i}}.

Sia V {\displaystyle V} il valore del bene b j {\displaystyle b_{j}} per il vincitore. Lutilità ottenuta sarà allora V −.}

                                     

2. Applicazione ai beni pubblici

Prendiamo il caso di una procedura per determinare la quantità di un bene pubblico.

Ogni individuo invia un messaggio allufficio che si occupa dellamministrazione del bene pubblico. Il messaggio può corrispondere alle vere preferenze per il bene pubblico oppure linformazione può essere falsa.

Supponiamo che la funzione di utilità dellindividuo i {\displaystyle i} sia:

u i = f i x + z i {\displaystyle u_{i}=f_{i}x+z_{i}}

dove x {\displaystyle x} è il bene pubblico e z i {\displaystyle z_{i}} un bene privato. La funzione f i x {\displaystyle f_{i}x} è chiamata la funzione di valutazione del bene pubblico. Lipotesi di separabilità del bene pubblico è indispensabile per il buon funzionamento del meccanismo VCG. Questa funzione di utilità quasi-lineare implica che non esiste effetto di reddito nella preferenza per il bene pubblico.

Sia p {\displaystyle p} il prezzo del bene pubblico. Il bene privato è utilizzato come numerario con un prezzo uguale a uno. Lufficio che si occupa dellamministrazione del bene pubblico calcola la quantità da produrre utilizzando le informazioni ricevute per esempio, il valore del bene pubblico secondo i diversi individui. Sceglie la quantità che massimizza il beneficio netto globale utilità sociale netta:

G = ∑ i = 1 h f i x − p x {\displaystyle G=\sum _{i=1}^{h}f_{i}x-px}

dove h {\displaystyle h} è il numero di individui. La condizione di primo ordine è:

∑ f i ′ x = p {\displaystyle \sum f_{i}x=p}

Se il bene pubblico è prodotto da unimpresa in condizione di concorrenza perfetta, lequilibrio sarà ottenuto dalluguaglianza dei rapporti di prezzo p {\displaystyle p} con il tasso di trasformazione dei prodotti. La condizione di primo ordine per la massimizzazione del beneficio netto globale implica che la quantità scelta corrisponde ad un ottimo paretiano condizione di Samuelson: la somma dei tassi marginali di sostituzione deve essere uguale al tasso di trasformazione dei prodotti.

Lufficio fissa la tassa utilizzando la formula seguente:

T i = p x ^ − ∑ j ≠ i h f j x ^ {\displaystyle T_{i}=p{\hat {x}}-\sum _{j\neq i}^{h}f_{j}{\hat {x}}}

dove x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} è la quantità prodotta del bene pubblico.

Questo meccanismo incita gli individui ad inviare un messaggio corrispondente alle loro vere preferenze. Infatti, la massimizzazione dellutilità sotto il vincolo di bilancio:

z i + T i = y i {\displaystyle z_{i}+T_{i}=y_{i}}

dove y i {\displaystyle y_{i}} è il reddito, corrisponde a massimizzare lespressione:

f i x + y i − T i {\displaystyle f_{i}x+y_{i}-T_{i}}.

Lindividuo conosce la formula utilizzata dallufficio per fissare la tassa. Inoltre, il reddito dellindividuo non dipende dalla quantità prodotta di bene pubblico. Possiamo quindi dire che lindividuo massimizza lespressione seguente:

f i x − }

dove

A i = 1 h − 1 ∑ j ≠ i Δ j = 1 h − 1 x ^ − Δ i {\displaystyle A_{i}={\frac {1}{h-1}}\sum _{j\neq i}\Delta _{j}={\frac {1}{h-1}}{\hat {x}}-\Delta _{i}}

e γ {\displaystyle \gamma } è una costante positiva.

Groves e Ledyard suppongono che gli individui considerano laumento indicato dagli altri come un dato. Questa ipotesi corrisponde a quella utilizzata nellequilibrio di Nash. Si può quindi dire che questo meccanismo conduce ad un equilibrio di Nash corrispondente ad un ottimo paretiano.

Per concludere, bisogna precisare che la ricerca di un meccanismo ottimale non può arrivare a delle conclusioni in contraddizione con il teorema sullimpossibilità delle procedure di decisioni collettive teorema dellimpossibilità di Arrow. Infatti, Hurwicz ha mostrato che non esiste nessun meccanismo dallocazione delle risorse che rappresenti sempre una strategia dominante per ogni individuo e conduce ad un ottimo paretiano. In altri termini, dire la verità non è sempre una strategia dominante nellallocazione delle risorse. Questo risultato negativo è valevole anche per i beni privati, salvo nel caso di economie atomistiche. Infatti, se gli individui non considerano il prezzo come un dato, possono ottenere un miglior risultato con un comportamento strategico. Tuttavia, nel caso dei beni privati lipotesi di prezzi fissi è molto ragionevole quando gli individui sono numerosi quando un consumatore acquista un litro di latte considera il prezzo come un dato. Al contrario, questa ipotesi è più difficile da accettare per i beni pubblici. Si spera sempre che siano gli altri a pagare.

                                     
  • generalizzazione dell asta di Vickrey è il meccanismo Vickrey - Clarke - Groves EN Vickrey auction. EN Asta di Vickrey su Enciclopedia Britannica

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