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ⓘ Esponente critico




                                     

ⓘ Esponente critico

In dinamica simbolica, l esponente critico di una successione infinita di simboli è una quantità che descrive quante volte una stringa può ripetersi allinterno della sequenza.

                                     

1. Definizione

Data una stringa infinita w di simboli dellalfabeto A, e una stringa finita x sullo stesso alfabeto, x occorre in w con esponente α con α> 0 se e solo se esiste una stringa y allinterno di w tale che y = x a x 0, dove x 0 è un prefisso di x e a è la parte intera di α, e la lunghezza di y ly≥ α lx. Ad esempio, la stringa a b c d {\displaystyle abcd} occorre con un esponente di 2.75 in w z a b c d a b c d a b c r k w {\displaystyle wzabcdabcdabcrkw}. y è detta un α-potenza, e w è priva di α-potenze se non contiene nessuna sottostringa che è unα-potenza. Lesponente critico di w è il massimo numero reale α per il quale w presenta almeno unα-potenza, oppure il minimo numero reale per cui non ne presenta.

                                     

2. Proprietà

Lesponente critico di una successione può assumere qualsiasi valore reale maggiore di 1. Lesponente critico di una parola morfica su un alfabeto di n simboli è un numero algebrico di grado minore o uguale ad n

                                     

3. Esempi

  • Lesponente critico della parola di Fibonacci è 5 + √5/2 ≈ 3.618.
  • Lesponente critico dellespansione decimale della costante di Champernowne è infinito.
  • Lesponente critico della successione di Thue-Morse è pari a 2.