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ⓘ Correnti a pelo libero




                                     

ⓘ Correnti a pelo libero

Le correnti a pelo libero sono essenzialmente delle correnti idriche che percorrono i corsi dacqua artificiali o naturali, come i fiumi. Il loro studio è molto importante per lidraulica tecnica. Limportante di questo tipo di correnti è che la superficie di contorno superiore non è a contatto con una parete solida ma con laria, che è considerato come un gas a pressione atmosferica costante, cioè una superficie isobarica che viene comunemente detta superficie libera o pelo libero. A differenza delle correnti in pressione, nelle correnti a pelo libero la pendenza del pelo libero può cambiare rispetto alla pendenza del fondo, pertanto è importante analizzare il profilo longitudinale del pelo libero.

La sezione di condotta a pelo libero può avere una sezione naturale, che si può rettificare per lo studio, oppure possiamo considerare un alveo infinitamente largo per lo studio di alcune parti, oppure essere in presenza di una sezione artificiale. La loro progettazione deve essere fatta seconda una portata massima che possono sopportare, considerando un tempo massimo di ritorno di una certa portata di piena.

                                     

1. Moto

Nelle correnti a pelo libero si può considerare un moto permanente e un moto uniforme.

Il moto permanente non dipende dal tempo:

∂ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0}

Considerando il carico totale H e derivandolo secondo una qualsiasi traiettoria s, che in una traiettoria di lunghezza infinitesima si ha come risultato le perdite di carico J:

d H d s = − J {\displaystyle {\frac {dH}{ds}}=-J}

Dobbiamo considerare la portata Q costante sia lungo la traiettoria sia allinizio che alla fine del nostro tratto interessato, cioè:

Q = Q s = Q 0 {\displaystyle Q=Qs=Q_{0}}

Quindi considerando una traiettoria di lunghezza non più infinitesima possiamo scrivere:

d H d s = − 1 g ⋅ ∂ v ∂ t − J {\displaystyle {\frac {dH}{ds}}=-{\frac {1}{g}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial t}}-J} ∂ Q ∂ s + ∂ ω ∂ t = q {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial s}}+{\frac {\partial \omega }{\partial t}}=q}

Dove q è la portata unitaria, cioè la portata di metri cubi al secondo per metro.

Quindi possiamo scrivere che:

J = f {\displaystyle J=fv,R,r_{s},r_{f}}

Cioè che le perdite di carico sono una funzione che dipendono da vari fattori che sono:

  • r f è il coefficiente di forma
  • v è la velocità
  • R è il raggio idraulico
  • r s è il coefficiente di scabrezza

Un moto uniforme invece si ha soltanto se si è in presenza di un alveo cilindrico, cioè con sezione costante. È caratterizzato dal fatto che il moto non cambia ne rispetto al tempo ne rispetto allo spazio:

∂ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0} ∂ ∂ s = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}=0}

Visto che sicuramente abbiamo delle pendenze, avremo che la derivata rispetto alla quota sarà diverso da zero:

∂ ∂ z ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\neq \ 0}

Possiamo scrivere lequazione del moto uniforme, indicando con i f la pendenza del fondo, e con J le dissipazioni:

i f = J {\displaystyle i_{f}=J}

La pendenza del fondo possiamo rappresentarla come: d z f d s = i f {\displaystyle {\frac {dz_{f}}{ds}}=i_{f}}

Questa ci dice che lenergia che guadagno grazie alla pendenza viene totalmente persa in dissipazioni distribuite. Tuttavia il moto uniforme è tecnicamente irrealizzabile se non puntualmente, perché vorrebbe dire che non esiste nulla che disturbi il corso dellacqua nel suo percorso, tuttavia rappresenta le condizioni tendenziali del corso dacqua.

Applicando lequazione di Bernoulli modificata per le correnti a pelo libero, possiamo scrivere la formula del carico totale della nostra corrente:

H = z f + y + v 2 g {\displaystyle H=z_{f}+y+{\frac {v^{2}}{2g}}}

dove:

  • v è la velocità
  • y è laltezza del corso dacqua
  • g è laccelerazione di gravità
  • z f è laltezza del fondale
h = z + y {\displaystyle h=z+y} Per una condotta a pressione è il carico prevalente v 2 g = Q 2 g Ω 2 {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}={\frac {Q^{2}}{2g\Omega ^{2}}}} è il carico cinematico
                                     

1.1. Moto Carico specifico

Nelle correnti a pelo libero, y e v 2 g = Q 2 g Ω 2 {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}={\frac {Q^{2}}{2g\Omega ^{2}}}} sono due grandezze confrontabili che assieme rappresentano il carico specifico E:

E = y + Q 2 g Ω 2 {\displaystyle E=y+{\frac {Q^{2}}{2g\Omega ^{2}}}}

z diventa lenergia di posizione per unità di peso. Analizzando il grafico di questa funzione, si nota come la corrente abbia due possibili livelli per la stessa energia, cioè una corrente più lenta con un livello più elevato oppure una più veloce con un livello del pelo libero più basso. Inoltre esiste un punto di energia minima per unaltezza del pelo libero, che si definisce altezza critica o y cr. Laspetto di tutti i corsi dacqua, nelle loro parti terminali variano con e y prossimi allassetto critico. Per le correnti a pelo libero, partendo dalla formula di Chézy, possiamo dire che data una certa portata ci si domanda se questultima riesce a scorrere lungo un percorso:

Q = Ω ⋅ c ⋅ g ⋅ R ⋅ i f {\displaystyle Q=\Omega \cdot c\cdot {\sqrt {g}}\cdot {\sqrt {R\cdot i_{f}}}}

Questa rappresenta le condizioni di moto uniforme. Rappresenta una condizione asintotica per una corrente che dopo un po ha le perdite di carico equilibrate dalla pendenza dellalveo. Non cè una relazione lineare tra portata e perdite di carico. In alcune condizioni energetiche, piccole variazioni di carico, possono causare gradi variazioni di carico.

A livello puntuale avremo J ≠ i f {\displaystyle J\neq \ i_{f}}

Mentre mediamente risulta:

∫ J d l = ∫ i f d l {\displaystyle \int Jdl=\int i_{f}dl}

Mettendo in relazione la pendenza del fondale i f con le perdite di carico, possiamo scrivere l equazione del moto in termini di carico specifico:

d E d s = i f − J {\displaystyle {\frac {dE}{ds}}=i_{f}-J}

Questa espressione ci indica quanto carico si può recuperare per unità di percorso. Se i f > J il carico aumenta, ma non è detto che aumenta la velocità della corrente, dipende se la corrente è veloce o la corrente è lenta.

                                     

1.2. Moto Assetto critico

Nellassetto critico si ha la minima energia per unaltezza del pelo libero unica. Per trovare il massimo valore di energia rispetto ad y.

E = y + Q 2 g Ω 2 {\displaystyle E=y+{\frac {Q^{2}}{2g\Omega ^{2}}}}

Deriviamo rispetto ad y:

d E d y = 1 + Q 2 g ⋅ b 2 ⋅ − 2 y 3 = 1 − q 2 g ⋅ y 3 {\displaystyle {\frac {dE}{dy}}=1+{\frac {Q^{2}}{2g\cdot b^{2}}}\cdot {\frac {-2}{y^{3}}}=1-{\frac {q^{2}}{g\cdot y^{3}}}}

Poniamo la funzione uguale a zero per trovare un massimo secondo lanalisi matematica:

1 − q 2 g ⋅ y 3 = 0 {\displaystyle 1-{\frac {q^{2}}{g\cdot y^{3}}}=0} q 2 g ⋅ y 3 = 1 {\displaystyle {\frac {q^{2}}{g\cdot y^{3}}}=1} y 3 = q 2 g {\displaystyle y^{3}={\frac {q^{2}}{g}}} y = q 2 g 3 {\displaystyle y={\sqrt
                                     

2. Velocità del flusso

Tramite lapplicazione della formula di Chézy ai canali a pelo libero è possibile scrivere lequazione della portata.

Q = A ⋅ k s ⋅ R 2 3 ⋅ i f {\displaystyle Q=A\cdot k_{s}\cdot R^{\frac {2}{3}}\cdot {\sqrt {i_{f}}}}

Dove:

  • b è la larghezza dellalveo rettangolare
  • R è il raggio idraulico
  • k s è il coefficiente di scabrezza o di Strickler-Manning
  • Q è la portata
  • y è laltezza del pelo libero
  • A è larea bagnata A = y b in caso di sezioni rettangolari dellalveo
  • i f è la pendenza del fondo

Nel caso più comune, con una sezione rettangolare possiamo scrivere questa equazione come:

q = y ⋅ k s ⋅ R 2 3 ⋅ i f {\displaystyle q=y\cdot k_{s}\cdot R^{\frac {2}{3}}\cdot {\sqrt {i_{f}}}}

Dove il raggio idraulico è:

R = A P = b ⋅ y b + 2 ⋅ y {\displaystyle \ R={\frac {A}{P}}={\frac {b\cdot y}{b+2\cdot y}}}

Che fa diventare la formula:

q = y ⋅ k s ⋅ b ⋅ y b + 2 ⋅ y 2 3 ⋅ i f {\displaystyle q=y\cdot k_{s}\cdot {\frac {b\cdot y}{b+2\cdot y}}^{\frac {2}{3}}\cdot {\sqrt {i_{f}}}}

Dove partendo con la conoscenza della portata e della larghezza dellalveo, per tentativi si può calcolare quale sarà laltezza della corrente.