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ⓘ Meccanica del contatto con attrito




                                     

ⓘ Meccanica del contatto con attrito

La meccanica del contatto è lo studio della deformazione di solidi che si toccano in uno o più punti. Questo può essere diviso in forze compressive e adesive in direzione perpendicolare allinterfaccia, e in forze di attrito in direzione tangenziale. La meccanica del contatto con attrito è lo studio della deformazione dei corpi in presenza di effetti di attrito, mentre la meccanica del contatto senza attrito assume lassenza di tali effetti.

La meccanica del contatto senza attrito si occupa di unampia gamma di scale diverse.

  • Su scala macroscopica, essa si applica allindagine sul moto dei corpi in contatto vedi Dinamica del contatto. Ad esempio il rimbalzo di una palla di gomma su una superficie dipende dallinterazione degli attriti sullinterfaccia di contatto. Qui sono di interesse principale la forza totale rispetto allindentazione e allo spostamento laterale.
  • Infine, su scala microscopica e nanoscopica, la meccanica del contatto si usa per aumentare la nostra comprensione dei sistemi tribologici, ad es. indagare lorigine dellattrito, e per lingegneria di dispositivi avanzati come i microscopi a forza atomica e i dispositivi MEMS.
  • Su scala intermedia, si è interessati alle tensioni, agli allungamenti e alle deformazioni locali dei corpi in contatto nella e vicino allarea di contatto. Ad esempio per derivare o validare i modelli di contatto su scala macroscopica, o per indagare lusura e la fatica delle superfici dei corpi in contatto. Le aree di applicazione di questa scala sono linterazione pneumatico-pavimentazione, linterazione ruota ferroviaria-rotaia, lanalisi dei cuscinetti a rulli, ecc.

Questo articolo si occupa principalmente della seconda scala: ottenere la comprensione basilare delle tensioni e delle deformazioni nella e vicino alla zona di contatto, senza prestare troppa attenzione ai meccanismi dettagliati mediante i quali essi avvengono.

                                     

1. Storia

Parecchi famosi scienziati e ingegneri hanno contribuito alla nostra comprensione dellattrito. Essi includono Leonardo da Vinci, Guillaume Amontons, John Theophilus Desaguliers, Leonhard Euler e Charles-Augustin de Coulomb. In seguito, Nikolai Pavlovich Petrov, Osborne Reynolds e Richard Stribeck completarono questa conoscenza con le teorie della lubrificazione.

La deformazione dei materiali solidi fu indagata nel XVII e XVIII secolo da Robert Hooke, Joseph Louis Lagrange, e nel XIX e XX secolo da dAlembert e Timoshenko. Rispetto alla meccanica del contatto spicca il contributo classico di Heinrich Hertz. Inoltre le soluzioni fondamentali di Boussinesq e Cerruti sono di primaria importanza per lindagine dei problemi di contatto con attrito nel regime linearmente elastico.

I risultati classici di un vero problema di contatto frizionale riguardano i saggi di F. W. Carter 1926 e H. Fromm 1927. Essi presentarono indipendentemente la reazione scivolamento verso forza di scivolamento per un cilindro su un piano o per due cilindri in contatto volvente stabile usando la legge dellattrito secco di Coulomb vedi sotto. Questi si applicano alla trazione delle locomotive ferroviarie, e per la comprensione delloscillazione di serpeggiamento dei veicoli ferroviari. Rispetto allo scivolamento, le soluzioni classiche sono dovute a C. Cattaneo 1938 e a R. D. Mindlin 1949, che consideravano il cambio di velocità tangenziale di una sfera su un piano vedi sotto.

Negli anni 1950 crebbe linteresse per il contatto volvente delle ruote ferroviarie. Nel 1958 K. L. Johnson presentò un approccio approssimato per il problema dellattrito tridimensionale con la geometria hertziana, con scivolamento o laterale o rotatorio. Tra le altre cose trovò che lo scivolamento rotatorio, che è simmetrico intorno al centro della zona di contatto, conduce a una forza laterale netta in condizioni volventi. Ciò è dovuto alle differenze longitudinali nella distribuzione delle trazioni della zona di contatto.

Nel 1967 Joost Kalker pubblicò la sua miliare tesi di dottorato sulla teoria lineare per il contatto volvente. Questa teoria è esatta per la situazione di un coefficiente di attrito infinito, nel qual caso larea di slittamento scompare, ed è approssimativa per gli scivolamenti che non scompaiono. Essa assume la legge dellattrito di Coulomb, che richiede più o meno superfici scrupolosamente pulite. Questa teoria è per corpi massici come il contatto ruota ferroviaria-rotaia. Rispetto allinterazione strada-pneumatico, un contributo importante riguarda la cosiddetta formula magica degli pneumatici di Hans Pacejka.

Negli anni 1970 furono messi a punto molti modelli numerici. Particolarmente gli approcci variazionali, come quelli che fanno affidamento sulle teorie dellesistenza e dellunicità di Duvaut e Lion. Nel tempo, queste si svilupparono in approcci degli elementi finiti per i problemi di contatto con i modelli le geometrie generali dei materiali, e in approcci basati sui semispazi per i cosiddetti problemi di contatto con bordi levigati per i materiali linearmente elastici. I modelli della prima categoria furono presentati da Laursen e da Wriggers. Un esempio di questultima categoria è il modello CONTACT di Kalker.

Un inconveniente degli approcci variazionali ben fondati sono i loro grandi tempi di calcolo. Perciò furono escogitati anche molti diversi approcci approssimati. Varie e ben note teorie approssimate per il problema del contatto volvente sono lapproccio FASTSIM di Kalker, la formula di Shen-Hedrick-Elkins e lapproccio di Polach.

Altre informazioni sulla storia del problema del contatto ruota/rotaia sono forniti nel saggio di Knothe. Inoltre Johnson raccolse nel suo libro unenorme quantità di informazioni sulla meccanica del contatto e sugli argomenti correlati. Rispetto alla meccanica del contatto volvente una panoramica delle varie teorie è presentata anche da Kalker. Infine sono dinteresse gli atti di un corso della CISM, che forniscono unintroduzione ad aspetti più avanzati della teoria del contatto volvente.

                                     

2. Formulazione del problema

Centrale nellanalisi dei problemi di contatto con attrito è la comprensione che le tensioni sulla superficie di ciascun corpo sono variabili spazialmente. Conseguentemente anche gli allungamenti le deformazioni dei corpi sono variabili con la posizione. E il moto delle particelle dei corpi a contatto può essere diverso in punti diversi: in parte della zona di contatto le particelle dei corpi opposti possono aderire attaccarsi luna allaltra, mentre in altre parti della zona di contatto avviene un movimento relativo. Questo scorrimento relativo locale è chiamato micro-deriva.

Questa suddivisione dellarea di contatto in aree di attaccatura adesione e aree di deriva si manifesta tra laltro nellusura corrosiva. Si noti che lusura si verifica solo dove è dissipata potenza, il che richiede una tensione e uno spostamento relativo locale deriva tra le due superfici.

La dimensione e la forma della stessa zona di contatto e della e sue aree di adesione e di deriva non sono generalmente note in anticipo. Se fossero note, allora i campi elastici nei due corpi sarebbero risolti indipendentemente luno dallaltro e questo non sarebbe più un problema di contatto.

Tre diverse componenti possono essere distinte in un problema di contatto.

  • In secondo luogo, cè un moto complessivo dei corpi luno in relazione allaltro. Ad esempio i corpi possono essere in quiete statica o in rapido avvicinamento tra loro impatto, e possono essere spostati scorrimento o ruotati rotolamento luno sullaltro. Questi moti complessivi sono studiati nella meccanica classica, vedi ad esempio la dinamica multicorpo.
  • Prima di tutto, cè la deformazione dei corpi separati in reazione ai carichi applicati alle loro superfici. Questo è loggetto della meccanica del continuo generale. Esso dipende in gran parte dalla geometria dei corpi e dal comportamento dei loro materiali costitutivi.
  • Infine ci sono i processi sullinterfaccia di contatto: compressione e adesione nella direzione perpendicolare allinterfaccia, e attrito e micro-deriva nelle direzioni tangenziali.

Lultimo aspetto è loggetto primario della meccanica del contatto. È descritto in termini delle cosiddette "condizioni di contatto". Per la direzione perpendicolare allinterfaccia, il problema di contatto normale, gli effetti di adesione sono solitamente piccoli sulle scale spaziali maggiori e si impiegano tipicamente le seguenti condizioni:

  • La tensione normale p n {\displaystyle p_{n}} che agisce su ciascun corpo è zero separazione o compressiva p n > 0 {\displaystyle p_{n}> 0} nel contatto.
  • Il divario e n {\displaystyle e_{n}} tra le due superfici deve essere zero contatto o strettamente positivo separazione, e n > 0 {\displaystyle e_{n}> 0};

Matematicamente: e n ≥ 0, p n ≥ 0, e n ⋅ p n = 0 {\displaystyle e_{n}\geq 0,p_{n}\geq 0,e_{n}\cdot p_{n}=0\,\!}. Qui e n, p n {\displaystyle e_{n},p_{n}} sono funzioni che variano con la posizione lungo le superfici dei corpi.

Nelle direzioni tangenziali si usano spesso le seguenti condizioni:

  • Lo sforzo di taglio locale tangenziale p → = p x, p y T {\displaystyle {\vec {p}}=p_{x},p_{y}^{T}\,\!} assumendo la direzione normale parallela allasse z {\displaystyle z} non può superare il massimo dipendente da una certa posizione, il cosiddetto limite di trazione g {\displaystyle g} ;
  • Dove lampiezza della trazione tangenziale ricade al di sotto del limite di trazione ‖ p → ‖ < g {\displaystyle \|{\vec {p}}\| 0}"> F x > 0 {\displaystyle F_{x}> 0} scivolamento negativo ξ < 0 {\displaystyle \xi 0\,\!}"> z > 0 {\displaystyle z> 0\,\!}.
  • Il problema del semispazio elastico è risolto analiticamente, vedi la soluzione di Boussinesq-Cerruti.
  • A causa della linearità di questo approccio, possono essere sovrapposte molteplici soluzioni parziali.

Usando la soluzione fondamentale per il semispazio, il problema completo del contatto tridimensionale è ridotto a un problema bidimensionale per le superfici delimitanti dei corpi.

Unulteriore semplificazione si verifica se i due corpi sono "geometricamente ed elasticamente simili". In generale, la tensione allinterno di un corpo in una certa direzione induce spostamenti anche nelle direzioni perpendicolari. Conseguentemente, nel problema di contatto cè uninterazione tra la tensione normale e gli spostamenti tangenziali, e uninterazione fra la tensione tangenziale e gli spostamenti normali. Ma se la tensione normale nellinterfaccia di contatto induce gli stessi spostamenti tangenziali in entrambi i corpi a contatto, allora non cè nessuno spostamento tangenziale relativo delle due superfici. In quel caso, i problemi di contatto normale e tangenziale sono disaccoppiati. Se questo avviene, allora i due corpi sono chiamati quasi identici. Ciò accade ad esempio se i corpi sono simmetrici speculari rispetto al piano di contatto e hanno le stesse costanti elastiche.

Le soluzioni classiche basate sullapproccio dei semispazi sono:

  • Hertz risolse il problema del contatto in assenza di attrito, per una geometria semplice superfici curve con raggi di curvatura costanti.
  • Cattaneo considerò la compressione e lo spostamento di due sfere, come descritto sopra. Si noti che questa soluzione analitica è approssimata. In realtà si verificano piccole trazioni tangenziali p y {\displaystyle p_{y}} che sono ignorate.
  • Carter considerò il contatto con rotolamento tra un cilindro e un piano, come descritto sopra. Una soluzione analitica completa è fornita per la trazione tangenziale.