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ⓘ Catenaria




Catenaria
                                     

ⓘ Catenaria

In matematica, la catenaria è una particolare curva piana iperbolica, il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.

Lequazione della catenaria può essere espressa matematicamente tramite il coseno iperbolico:

y = a ⋅ cosh ⁡ x a = a 2 e x / a + e − x / a. {\displaystyle y=a\cdot \cosh \left{x \over a}\right={a \over 2}\lefte^{x/a}+e^{-x/a}\right.}
                                     

1. Storia

Il primo ad occuparsi della catenaria fu Galileo Galilei nel 1638, pensando erroneamente che la forma di una fune appesa per i suoi estremi e sotto la forza di gravità, fosse una parabola.

Nel 1669 Joachim Jungius dimostrò che la curva in questione non era una parabola e, nel 1691, Huygens, Leibniz e i fratelli Bernoulli, dimostrarono che questa curva era una curva non algebrica, e fu battezzata" catenaria” dallo stesso Huygens.

La curva, detta anche funicolare o velaria, fu studiata anche da Eulero, il quale dimostrò nel 1744 che la sua rotazione attorno allasse delle ascisse genera una superficie minima, che prese il nome di catenoide.

                                     

2. In ingegneria e in architettura

In considerazione del fatto che una catenaria ha la proprietà di avere in ogni suo punto una distribuzione uniforme del suo peso totale, questo tipo di curva è stata spesso utilizzata per realizzare manufatti e strutture architettoniche. Le strutture realizzate secondo tale curva subiscono soltanto sforzi a trazione, come le funi di sostegno nei ponti sospesi, oppure, in alternativa, a compressione, quando la struttura realizzata ha la forma di una catenaria riflessa rispetto ad una retta orizzontale, come nelle strutture di cupole e ponti per esempio nei ponti di Maillart o il viadotto ferroviario del Garabit.

                                     

3. Nei trasporti

Con il termine catenaria si indica linsieme di conduttori elettrici da cui alcuni mezzi di trasporto ricevono la corrente elettrica necessaria alla loro alimentazione. Tale prelievo avviene di norma attraverso i trolley e i pantografi.

                                     

4. Derivazione matematica

Per derivare lequazione della catenaria costruiamo un modello ad hoc. Supponiamo di avere una catena o una fune non estensibile in un campo di forza peso g → {\displaystyle {\vec {g}}}, che evidentemente rappresenta laccelerazione di gravità che supponiamo diretta lungo i valori negativi dellasse y {\displaystyle y}. In ogni punto della catena agiranno sia la forza peso sia la tensione dei singoli elementi della catena; imponendo la condizione di equilibrio statico la risultante di tutte le forze lungo la catena deve essere nulla:

0 → = F → 0 + g → ∫ 0 s d s ′ λ s ′ + τ → s {\displaystyle {\vec {0}}={\vec {F}}_{0}+{\vec {g}}\int _{0}^{s}\mathrm {d} s\lambda s+{\vec {\tau }}s},

dove F → 0 {\displaystyle {\vec {F}}_{0}} è la forza che regge la catena agli estremi equilibrando la forza peso, λ s {\displaystyle \lambda s} è la densità lineare della massa lungo la catenaria, e τ → s {\displaystyle {\vec {\tau }}s} è la tensione nel punto s {\displaystyle s}. Presumendo la densità lineare costante in ogni punto, λ s = λ 0 {\displaystyle \lambda s=\lambda _{0}} assumendo dunque la catena come omogenea e calcolando la derivata rispetto a s {\displaystyle s} si ha

0 → = λ 0 g → + d τ → s d s {\displaystyle {\vec {0}}=\lambda _{0}{\vec {g}}+{\frac {\mathrm {d} {\vec {\tau }}s}{\mathrm {d} s}}}.

Ci interessa il grafico della curva nel piano x, y {\displaystyle x,y}, per cui consideriamo le due componenti x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} della tensione:

d τ cos ⁡ ϑ d s = 0 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau \cos {\vartheta }}{\mathrm {d} s}}=0\\qquad 1} d τ sin ⁡ ϑ d s = λ 0 g 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau \sin {\vartheta }}{\mathrm {d} s}}=\lambda _{0}g\\qquad 2}

dove

ϑ = arctan ⁡ y τ x τ {\displaystyle \vartheta =\arctan \left{\frac {y_{\tau }}{x_{\tau }}}\right}

Dallequazione 1 vediamo che τ cos ⁡ ϑ = c {\displaystyle \tau \cos {\vartheta }=c}, dove c {\displaystyle c} è una costante che dipende dalla lunghezza della catena e dalla posizione degli estremi alla quale è appesa, dunque

τ = c cos ⁡ ϑ {\displaystyle \tau ={\frac {c}{\cos {\vartheta }}}}.

E sostituendo nella 2,

d tan ⁡ ϑ d s = λ 0 g c. 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tan {\vartheta }}{\mathrm {d} s}}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}.\\qquad 3}

Sappiamo che d s {\displaystyle \mathrm {d} s} rappresenta il differenziale dellascissa curvilinea nel piano x, y {\displaystyle x,y}, e si può esprimere come

d s = 1 + d y d x 2 d x {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+\left{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right^{2}}}\mathrm {d} x}

e si ottiene dunque lequazione differenziale

y ″ = λ 0 g c 1 + y ′ 2, 4 {\displaystyle y={\frac {\lambda _{0}g}{c}}{\sqrt {1+y^{2}}},\\qquad 4}

La soluzione con un paio di sostituzioni fa intuire un coseno iperbolico, e in forma esplicita è

y x = c λ 0 g cosh ⁡ λ 0 g c x + α + β, {\displaystyle yx={\frac {c}{\lambda _{0}g}}\cosh {\left{\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+\alpha \right}+\beta,}

dove α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } sono le due costanti di integrazione.

È interessante notare che la catena prenderà la forma di una catenaria anche quando gli estremi siano ad altezze diverse, infatti non abbiamo fatto alcuna ipotesi su di essi.



                                     

4.1. Derivazione matematica Il parametro a

La catenaria generica può essere scritta come: f x = a cosh ⁡ x a {\displaystyle fx=a\cosh {\left{\frac {x}{a}}\right}}.

Per trovare il parametro a {\displaystyle a}, noti gli estremi a cui è appesa la catena x 0 {\displaystyle x_{0}} e x f {\displaystyle x_{f}} e la lunghezza della curva, si calcola prima questultima usando la seguente formula:

∫ x 0 x f 1 + | f ′ x | 2 d x, {\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{f}}{\sqrt {1+|fx|^{2}}}dx,}

e si ottiene dunque:

L = a sinh ⁡ x f a − sinh ⁡ x 0 a) {\displaystyle L=a\left\sinh \left{\frac {x_{f}}{a}}\right-\sinh \left{\frac {x_{0}}{a}}\right\right)}

dove L {\displaystyle L} è la lunghezza della catena. Si può quindi definire a {\displaystyle a} come lo zero della funzione:

y α = α sinh ⁡ x f α − sinh ⁡ x 0 α) − L {\displaystyle y\alpha=\alpha \left\sinh \left{\frac {x_{f}}{\alpha }}\right-\sinh \left{\frac {x_{0}}{\alpha }}\right\right)-L}

che si può calcolare numericamente utilizzando gli algoritmi per il calcolo di uno zero di una funzione.