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ⓘ Equazione di Laplace




                                     

ⓘ Equazione di Laplace

In matematica, l equazione di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è lequazione omogenea associata allequazione di Poisson, e pertanto appartiene alle equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche: le sue proprietà sono state studiate per la prima volta da Laplace. Lequazione riveste particolare importanza nei settori dellelettromagnetismo, dellastronomia, della fluidodinamica, le sue soluzioni differenziabili fino al secondo ordine costituiscono la classe delle funzioni armoniche, che sono funzioni analitiche.

Lequazione impone che loperatore di Laplace di una funzione incognita sia nullo. Tale relazione riveste particolare importanza in fisica:

  • Se lincognita è una temperatura lequazione di Laplace è la legge di Fourier per la conduzione del calore.
  • Se lincognita è una concentrazione lequazione di Laplace è la legge di diffusione di Fick.
  • Se lincognita è un potenziale elettrostatico lequazione di Laplace descrive il problema generale dellelettrostatica nel caso non siano presenti le sorgenti del campo.

La soluzione dellequazione di Laplace nel caso bidimensionale è un problema che viene spesso affrontato utilizzando lanalisi complessa, in particolare tramite mappe conformi, mentre nel caso tridimensionale si può invece utilizzare il metodo di separazione delle variabili.

                                     

1. Lequazione

Sia φ = φ x {\displaystyle \varphi =\varphi \mathbf {x}} una funzione definita su un insieme U {\displaystyle U} di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} a valori in R {\displaystyle \mathbb {R} }. Sia la funzione di classe C 2, cioè derivabile fino al secondo ordine con continuità.

Lequazione di Laplace per φ {\displaystyle \varphi } ha la forma:

∇ 2 φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}

dove ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} è loperatore di Laplace o laplaciano, che nello spazio euclideo tridimensionale può avere diverse espressioni, ad esempio la forma: cartesiana, cilindrica e sferica.

Lequazione si trova scritta anche scomponendo il laplaciano:

div grad φ = ∇ ⋅ ∇ φ = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \cdot \nabla \varphi =0}

dove div {\displaystyle \operatorname {div} } è loperatore divergenza e grad {\displaystyle \operatorname {grad} } è loperatore gradiente.

                                     

1.1. Lequazione Soluzione fondamentale

Una strategia utilizzata nella soluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari consiste nel trovare inizialmente soluzioni semplici, ed a partire da esse costruire una soluzione complessa che sia combinazione lineare di soluzioni semplici.

Dal momento che lequazione di Laplace è invariante sotto rotazione, si cercano soluzioni di tipo radiale, dipendenti solamente dalla variabile:

r = | x | = x 1 2 + x 2 + ⋯ + x n 2 1 2 {\displaystyle r=|\mathbf {x} |=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}^{\frac {1}{2}}}

Si consideri la funzione:

φ x = v r {\displaystyle \varphi \mathbf {x}=vr}

con v {\displaystyle v} tale che lequazione di Laplace per φ {\displaystyle \varphi } continui a valere.

Poiché:

∂ r ∂ x i = 2 x i 2 x 1 2 + x 2 + ⋯ + x n 2 − 1 2 = x i r {\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}={\frac {2x_{i}}{2}}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {x_{i}}{r}}}

si ottiene:

∂ φ ∂ x i = v ′ r x i r ∂ 2 φ ∂ x i 2 = v ″ r x i 2 r 2 + v ′ r 1 r − x i 2 r 3 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}=vr{\frac {x_{i}}{r}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}=vr{\frac {x_{i}^{2}}{r^{2}}}+vr\left{\frac {1}{r}}-{\frac {x_{i}^{2}}{r^{3}}}\right}

per ogni i {\displaystyle i} e per ogni x i {\displaystyle x_{i}} non nullo.

Si ha quindi:

∇ 2 φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0} ∇ 2 φ = ∑ i n ∂ 2 φ ∂ x i 2 = v ″ r + n − 1 r v ′ r = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =\sum _{i}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}^{2}}}=vr+{\frac {n-1}{r}}vr=0}

Se v {\displaystyle v} è diverso da zero si ha:

v ″ v ′ = 1 − n r = log ⁡ v ′ ′ {\displaystyle {\frac {v}{v}}={\frac {1-n}{r}}=\logv}

e quindi:

v ′ r = a r n − 1 {\displaystyle vr={\frac {a}{r^{n-1}}}}

con a {\displaystyle a} costante. Di conseguenza, per r {\displaystyle r} positivo:

v r = { a log ⁡ r + c n = 2 a r n − 2 + c n ≥ 3 {\displaystyle vr={\begin{cases}a\log r+c\qquad n=2\\{\frac {a}{r^{n-2}}}+c\qquad n\geq 3\end{cases}}}

con c {\displaystyle c} costante.

Con unopportuna scelta delle costanti si definisce la soluzione dellequazione di Laplace nella sua forma più generale:

Φ x = { − 1 2 π log ⁡ | x | n = 2 1 n − 2 α n | x | n − 2 n ≥ 3 {\displaystyle \Phi \mathbf {x}={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |\qquad n=2\\{\frac {1}{nn-2\alpha n|\mathbf {x} |^{n-2}}}\qquad n\geq 3\end{cases}}}

dove α n {\displaystyle \alpha n} denota il volume della bolla di raggio unitario in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

                                     

2.1. Condizioni al contorno Condizioni al contorno di Dirichlet

Il problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace consiste nel trovare una soluzione φ definita in un dominio D {\displaystyle D} e tale che ϕ {\displaystyle \phi } sul bordo di D {\displaystyle D} coincida con una funzione assegnata. La relazione tra lequazione di Laplace e quella del calore può essere data dalla seguente interpretazione fisica del problema di Dirichlet: supponendo che la funzione assegnata sia una temperatura costante nel tempo associata ad ogni punto del bordo di un corpo omogeneo e isotropo, i valori della temperatura allinterno del corpo quando si raggiunge lequilibrio termico rappresentano la soluzione del problema di Dirichlet.

                                     

2.2. Condizioni al contorno Condizioni al contorno di Neumann

Il problema di Neumann per le equazioni di Laplace è simile al problema di Dirichlet, ma in esso la funzione assegnata non coincide con il valore di φ sul bordo di D {\displaystyle D}, ma con la sua derivata normale. La più ovvia interpretazione fisica e quella dalla quale il problema è stato motivato corrisponde alla costruzione di un potenziale su un campo vettore conoscendo le variazioni del campo sul bordo.

Esistono anche le condizioni al contorno di terzo tipo o di Robin, ma non sono trattate in questa sede.

                                     

3. Funzione di Green per lequazione in tre dimensioni

Si consideri un sistema descritto dallequazione di Poisson:

∇ 2 u x = f x {\displaystyle \nabla ^{2}u\mathbf {x}=f\mathbf {x}}

dove ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} è il laplaciano in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, f x {\displaystyle f\mathbf {x}} la sorgente e u x {\displaystyle u\mathbf {x}} la soluzione della PDE. Poiché il laplaciano è un operatore differenziale lineare, la soluzione u x {\displaystyle u\mathbf {x}} può essere scritta come un integrale esteso alla distribuzione sorgente f x {\displaystyle f\mathbf {x}}:

u x = ∫ x ′ d x ′ G x, x ′ f x ′ {\displaystyle u\mathbf {x}=\int _{\mathbf {x} }d\mathbf {x} G\mathbf {x},\mathbf {x}f\mathbf {x}}

dove la funzione di Green è la distribuzione G x, x ′ {\displaystyle G\mathbf {x},\mathbf {x}} che consente di ottenere la risposta del sistema in x {\displaystyle \mathbf {x} } ad una sorgente puntiforme, descritta attraverso la delta di Dirac δ x − x ′ {\displaystyle \delta \mathbf {x} -\mathbf {x}}, posta in x ′ {\displaystyle \mathbf {x} }:

∇ 2 G x, x ′ = δ x − x ′ {\displaystyle \nabla ^{2}G\mathbf {x},\mathbf {x}=\delta \mathbf {x} -\mathbf {x}}

La funzione di Green per lequazione di Laplace in tre dimensioni è uno strumento spesso utilizzato in fisica, ad esempio nella descrizione dellinterazione di un corpo carico con il campo elettromagnetico generato da una sorgente puntiforme ρ {\displaystyle \rho }. In tale contesto, il campo elettrico E {\displaystyle \mathbf {E} } è dato dal gradiente del potenziale elettrico ϕ {\displaystyle \phi }:

E = − ∇ ϕ x {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi \mathbf {x}}

e utilizzando lequazione di Maxwell:

∇ ⋅ E = 4 π ρ x {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \mathbf {x}}

si ha lequazione di Poisson:

− ∇ 2 ϕ x = 4 π ρ x {\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi \mathbf {x}=4\pi \rho \mathbf {x}}

Si può allora trovare la soluzione ϕ x {\displaystyle \phi \mathbf {x}} per una distribuzione arbitraria considerando una carica puntiforme q {\displaystyle q} in x ′ {\displaystyle \mathbf {x} }:

ρ x = q δ x − x ′ {\displaystyle \rho \mathbf {x}=q\delta \mathbf {x} -\mathbf {x}}

La funzione di Green in tre dimensioni spaziali per lequazione di Laplace in tre variabili è data in funzione della distanza reciproca tra due punti:

G x, x ′ = − 1 | x − x ′ | {\displaystyle G\mathbf {x},\mathbf {x}=-{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} |}}}

dove x = x, y, z {\displaystyle \mathbf {x} =x,y,z} sono le coordinate cartesiane standard. Lespressione algebrica della funzione di Green in tale sistema di coordinate è:

1 | x − x ′ | = ^{-{\frac {1}{2}}}}

Esistono diversi modi per sviluppare tale relazione. Uno di essi è lespansione di Laplace, data per lequazione di Laplace in tre variabili in termini della funzione generatrice per i polinomi di Legendre:

1 | x − x ′ | = ∑ l = 0 ∞ r < l r > l + 1 P l cos ⁡ γ {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{ }^{l+1}}}P_{l}\cos \gamma}

dove si sono utilizzate le coordinate sferiche r, θ, φ {\displaystyle \,\!r,\theta,\varphi} e γ {\displaystyle \gamma } è langolo tra due vettori arbitrari x, x ′ {\displaystyle \mathbf {x},\mathbf {x}} dato da:

cos ⁡ γ = cos ⁡ θ cos ⁡ θ ′ + sin ⁡ θ sin ⁡ θ ′ cos ⁡ φ − φ ′ {\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta ^{\prime }+\sin \theta \sin \theta ^{\prime }\cos\varphi -\varphi ^{\prime }}

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