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ⓘ Velocità di gruppo




Velocità di gruppo
                                     

ⓘ Velocità di gruppo

La velocità di gruppo di unonda è la velocità con cui si propagano nello spazio le variazioni nella forma dellampiezza dellonda. Si tratta della velocità dellinviluppo o modulante dellonda.

                                     

1. Definizione

La velocità di gruppo è definita dallequazione:

v g = ∂ ω ∂ k {\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}

dove:

v g è la velocità di gruppo ω è la frequenza angolare k è il numero donda

La velocità di gruppo è spesso considerata la velocità a cui lenergia o linformazione sono trasportate dallonda. In molti casi questa è una visione accurata, e la velocità di gruppo può essere pensata come la velocità di segnale della forma donda. Tuttavia la comunicazione superluminale non è possibile, poiché la velocità di segnale rimane inferiore alla velocità della luce. È anche possibile ridurre la velocità della luce a zero, fermando londa, o facendo in modo che londa sembri propagarsi in senso contrario.

La funzione ω k che ci dà ω in funzione di k è nota come relazione di dispersione. Se ω è direttamente proporzionale a k, allora la velocità di gruppo è esattamente proporzionale alla velocità di fase. In caso contrario, linviluppo dellonda verrà distorto mentre si propaga. Questa "dispersione di velocità di gruppo" è un importante effetto nella propagazione dei segnali lungo le fibre ottiche e nella progettazione dei laser a impulsi brevi.

Lidea di una velocità di gruppo diversa dalla velocità di fase di unonda fu proposta per la prima volta da W.R. Hamilton nel 1839, mentre la prima trattazione completa si deve a Rayleigh in Theory of Sound Teoria del Suono del 1877.

                                     

2. Velocità di gruppo nella materia

Albert Einstein fu il primo a spiegare la dualità onda-particella nella luce nel 1905. Louis de Broglie ipotizzò che qualunque particella avrebbe dovuto comportarsi allo stesso modo. Egli concluse quindi che la velocità di ogni particella avrebbe dovuto essere uguale alla velocità di gruppo della sua onda. De Broglie dedusse che se lequazione della dualità nota per la luce fosse stata la stessa per ogni particella, allora questa ipotesi sarebbe stata esatta. Questo significa che

v g = ∂ ω ∂ k = ∂ E / ℏ ∂ p / ℏ = ∂ E ∂ p {\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial E/\hbar}{\partial p/\hbar}}={\frac {\partial E}{\partial p}}}

dove

E lenergia totale della particella, p il suo momento, ℏ {\displaystyle \hbar } è la costante di Planck ridotta.

Usando la relatività speciale si ottiene

v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p 2 c 2 + m 0 2 c 4 = p c 2 p 2 c 2 + m 0 2 c 4 = γ m 0 v c 2 γ 2 m 0 2 v 2 c 2 + m 0 2 c 4 = γ v c γ 2 v 2 + c 2 = v c v 2 + c / γ 2 = v c v 2 + c 2 − v 2 = v. {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\gamma m_{0}vc^{2}}{\sqrt

La meccanica quantistica ha dimostrato molto accuratamente questa ipotesi e questa relazione è stata mostrata esplicitamente per particelle anche grandi come le molecole.