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ⓘ Tempo di ritorno




Tempo di ritorno
                                     

ⓘ Tempo di ritorno

In statistica il periodo di ritorno di un evento, definito anche come tempo di ritorno, è il tempo medio intercorrente tra il verificarsi di due eventi successivi di entità uguale o superiore ad un valore di assegnata intensità o, analogamente, è il tempo medio in cui un valore di intensità assegnata viene uguagliato o superato almeno una volta.

Per ragioni di comodità di rappresentazione, il tempo di ritorno è spesso utilizzato, in diversi campi tecnici, in sostituzione del concetto di probabilità di non superamento associato ad un certo evento naturale.

Infatti gran parte delle grandezze che governano i fenomeni naturali sono aleatorie e quindi descrivibili attraverso variabili casuali continue da studiare con i metodi probabilistici.

Mediante tali metodi è possibile individuare la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta il fenomeno naturale così da poter associare ad ogni valore che la grandezza può assumere la relativa frequenza con cui questa si verifica.

Consideriamo una serie di osservazioni effettuate su una grandezza naturale x variabile casuale continua; la probabilità che un evento X risulti maggiore di un valore prefissato x T in un certo lasso di tempo è pari a:

p = p X ≥ x T {\displaystyle p=p\leftX\geq x_{T}\right}

Il tempo di ritorno medio T associato a X esprime il numero medio di osservazioni necessarie affinché un dato evento si verifichi nuovamente.

T è pari allinverso della probabilità p = T = 1 p {\displaystyle p=\leftT={\frac {1}{p}}\right}, questa significa che fissare un tempo di ritorno è equivalente a fissare un valore di probabilità:

p = 1 T {\displaystyle p={\frac {1}{T}}}.

Se la variabile casuale è un valore massimo annuale, il tempo di ritorno T si misura in anni.

Se ad esempio sto esaminando i massimi annuali delle portate di piena fluviale, il valore Q 100, a cui corrisponde un tempo di ritorno T = 100 anni, ha probabilità di verificarsi pari a 1% in un anno; questo vuol dire che, in un dato anno, cè un 1% di possibilità che detto evento possa realmente accadere.

Mentre il verificarsi in un dato anno di una piena fluviale Q 10 che ha un T = 10 anni è 10 volte più probabile 10% di possibilità.

Un tempo di ritorno più lungo indica quindi un evento più raro, meno probabile.

La probabilità di un evento estremo di verificarsi in un lasso di N anni è pari invece a:

p = 1 T N {\displaystyle p=\left{\frac {1}{T}}\right^{N}}

Determinare esattamente il tempo di ritorno di un evento catastrofico può essere difficile se la frequenza di questi eventi naturali supera la durata della vita umana o ancor più se privo di registrazioni storiche.

Lidraulica fluviale e lidrologia studiano sistemi complessi come le precipitazioni o le portate nei fiumi grazie alle registrazioni di serie storiche pluviometriche o di portate.

La corrispondenza biunivoca che esiste tra tempo di ritorno e probabilità permette di collegare questa grandezza alle grandezze definite rischio, danno, vulnerabilità.

                                     

1. Elementi di statistica

Quanto di seguito esposto vale anche nel caso di variabili casuali discrete ma in campo ingegneristico/scientifico è più significativo parlare di variabili continue.

  • si definisce campione di dimensione un insieme di N valori estratto dalla popolazione.
  • si definisce popolazione di una variabile casuale linsieme di tutti i valori che questa può assumere;
  • si definisce probabilità la misura della possibilità di accadimento di uno specifico evento al quale è associato un valore di una variabile casuale x. La probabilità è un numero compreso tra 0 impossibilità che levento si verifichi e 1 certezza che levento si verifichi;
  • Si definisce variabile casuale o stocastica x una variabile continua che può assumere uno qualunque dei valori di un insieme finito o infinito; a ciascuno dei suoi valori è associata una densità di probabilità;

Consideriamo un variabile casuale x che può assumere tutti i valori compresi nellinsieme finito E = a, b - popolazione di x. La probabilità di una variabile aleatoria continua x è descritta da un funzione di densità di probabilità fx - in idrologia ad esempio è frequentemente utilizzata la distribuzione di Gumbel o EV1 mentre in ingegneria sismica le NTC 2008 fanno riferimento alla distribuzione di Poisson - Pertanto la probabilità p che la variabile ∈x 1, x 2 è data da:

p x 1 ≤ x ≤ x 2 = ∫ x 1 x 2 f x d x {\displaystyle p{x_{1}}\leq x\leq {x_{2}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}fx\,dx}

Appare evidente che la probabilità che la variabile x assuma un qualsiasi valore x ∈ E è pari a 1, cioè la certezza:

p a ≤ x ≤ b = ∫ a b f x d x = 1 = p C {\displaystyle p{a}\leq x\leq {b}=\int _{a}^{b}fx\,dx=1=p_{C}}

Consideriamo una successione di N misurazioni eseguite sulla variabile x indipendentemente luna dallaltra - campione di dimensione N di x. Fissiamo un valore prefissato m della variabile x continua. La probabilità che il valore misurato di x possa essere minore o uguale a m è dato da:

p x ≤ m = ∫ a m f x d x = p N S {\displaystyle px\leq {m}=\int _{a}^{m}fx\,dx=p_{NS}}

Tale funzione si definisce distribuzione di probabilità cumulata della variabile aleatoria ed è detta anche probabilità di non superamento p NS ≤1. Pertanto la probabilità di superamento di m è data dal valore complementare:

p x > m = ∫ m b f x d x = p C − p N S = 1 − p N S = p S {\displaystyle px> m=\int _{m}^{b}fx\,dx=p_{C}-p_{NS}=1-p_{NS}=p_{S}}

il periodo di tempo che bisogna attendere affinché un determinato valore m della variabile stocastica x venga superato o uguagliato in media una volta, ovvero il numero medio di misurazioni necessarie, viene definito tempo di ritorno e il suo valore è linverso della p S:

T = 1 p S = 1 − p N S {\displaystyle T={\frac {1}{p_{S}}}={\frac {1}{1-p_{NS}}}}

pertanto p N S = 1 − 1 T {\displaystyle p_{NS}=1-{\frac {1}{T}}} che rappresenta la probabilità in percentuale che levento non si verifichi in media con riferimento ad un anno; con riferimento ad N anni la probabilità di non superamento diventa:

p N S N = 1 − 1 T N {\displaystyle p_{NS}^{N}=1-{\frac {1}{T}}^{N}}.

Si definisce infine rischio di superamento associato ad un certo valore m = x T, con T anni di tempo di ritorno ritorno, la probabilità che tale valore venga superato o uguagliato almeno una volta in un numero N di anni:

R = 1 − p N S N = 1 − 1 − 1 T N {\displaystyle R=1-p_{NS}^{N}=1-1-{\frac {1}{T}}^{N}}

Se si assume N=T, R cresce asintoticamente al crescere di T tendendo rapidamente al valore 0.632. Pertanto la probabilità che x T con T elevato venga superato in un periodo di T anni è pari a circa 2/3. Il concetto di probabilità di non superamento è spesso sostituito da quello di tempo di ritorno.

                                     

2. Rischio di superamento

Nellingegneria idraulica, per la progettazione di alcune opere strettamente connessa agli eventi atmosferici, quali, fogna pluviali, canali, dighe, opere marittime, la scelta del tempo di ritorno di evento è un parametro fondamentale. La scelta del tempo di ritorno dipende da vari fattori quali:

lestensione del bacino di drenaggio; limportanza dellopera; il rischio di superamento.

In merito a questultimo risulta evidente che levento critico es. la pioggia critica che dà origine alla portata di massima piena in un corso dacqua, in base al quale si intende dimensionare lopera idraulica, deve essere prescelto anche valutando il danno che il suo superamento può causare a cose e/o persone. Il rischio è classificato nel seguente modo in funzione del danno:

  • R2 - rischio moderato - levento naturale può causare danni minori agli edifici, alle infrastrutture e ai beni ambientali e culturali che non pregiudicano lincolumità delle persone, lagibilità degli edifici e la funzionalità delle attività socio-economiche;
  • R1 = rischio moderato - levento naturale può causare danni sociali ed economici ai beni ambientali e culturali marginali;
  • R3 - rischio elevato - levento naturale problemi per lincolumità delle persone, danni funzionali agli edifici, con conseguente inagibilità degli stessi, alle infrastrutture e ai beni ambientali e culturali, con linterruzione delle funzionalità socio-economiche;
  • R4 - rischio molto elevato - sono possibili la perdita di vite umane e lesioni gravi alle persone, danni gravi agli edifici, alle infrastrutture e ai beni ambientali e culturali e la distruzione delle funzionalità delle attività socio-economiche.

Consideriamo unopera idraulica dimensionata per un evento meteorologico xT di T anni di tempo di ritorno. Il rischio R=1-1-{\frac {1}{T}}^{N}}

con N pari alla vita utile dellopera. A questo punto bisogna scegliere idoneamente T in modo tale che il rischio sia commisurato ai possibili danni causati da eventi maggiori di quello di progetto ma considerando anche che levento di progetto che ne deriva deve determinare un dimensionamento dellopera idraulica tecnicamente ed economicamente accettabile. Infatti nella maggior parte dei casi risulta antieconomico costruire unopera in grado di far fronte allevento più estremo possibile per cui si preferisce dimensionarla prevedendo che durante la sua vita utile possa risultare inefficace poiché i danni che ne deriverebbero sono valutati tollerabili. Per quanto sopra mentre per esempio è economicamente e tecnicamente conveniente prevedere che una fogna pluviale risulti periodicamente insufficiente poiché i danni delle eventuali esondazioni si possono ritenere tollerabili lo stesso non può essere accettato per le opere di sfioro di una diga per la quale il superamento della soglia di progetto potrebbe causare danni ingenti e pericolo di perdite di vite umane. Pertanto T per una fogna pluviale può essere inferiore alla durata prevista dellopera che si sta progettando, mentre per una diga deve essere molto maggiore. Questa implica che, il periodo di ritorno può variare da pochi a più di mille anni. Considerando che da letteratura tecnica unopera idraulica ha una vita utile variabile da circa 30-40 anni fognatura pluviale a 100 anni opere di sbarramento, tradizionalmente le fognature pluviali a basso rischio vengono dimensionate con T=5 anni, gli argini fluviali con T=100-1000 anni, le pile dei ponti fluviali con T=100-500 anni le opere di sfioro delle dighe con T = 1000-3000 anni.

                                     

3. Esempio di calcolo

Consideriamo una portata x T la cui probabilità di non superamento, valutata di norma in seguito alladattamento di una adeguata distribuzione di probabilità, è pari al 90% cioè:

p X ≤ x T = 0, 9 {\displaystyle pX\leq x_{T}=0.9}.

il calcolo del relativo tempo di ritorno associato a x T {\displaystyle x_{T}} vale:

T =1-1-{\frac {1}{T}}^{N}=1-1-{\frac {1}{10}}^{50}=0.9948}
                                     

4. Esempi

  • Eruzione pliniana del Vesuvio: attesa ogni 45 anni.
  • Calcolo del tempo di ritorno di unonda irregolare, in maniera statistica sapendo solo matematicamente i dati del mare.